Свойства дополнений множеств

В ТФДП очень важными являются два следующих закона:

1) C_E⋂A_α =∪C_EA_α;

2) C_E∪A_α =⋂C_EA_α.

На самом деле это достаточно легко понять. Мне легче это было понять, чем дистрибутивный закон.

Начнем с 1).

Равенство гласит, что дополнение к пересечению множеств равно сумме дополнений этих множеств.

Точки, которые не принадлежат пересечению всех множеств системы A_α, не принадлежат какому-то из множеств A_i. Ведь точки пересечения множеств системы A_α принадлежат каждому из этих множеств. Значит, точки, которые не принадлежат хотя бы одному из множеств A_i системы A_α, не принадлежат и пересечению. Стало быть, точки, которые не принадлежат пересечению всех множеств системы A_α (а значит принадлежат дополнению пересечения) и не принадлежат, следовательно, какому-то множеству A_i, принадлежат его дополнению.

Еще раз ввиде:

точки, которые не принадлежат пересечению, принадлежат дополнению пересечения;

точки, которые не принадлежат пересечению, не принадлежат и какому-то A_i, а значит, принадлежат дополнению A_i.

Получается, что любая точка, принадлежащая дополнению пересечения, принадлежит и дополнению какого-то множества A_i, а тем более объединению дополнений.

Дополнение каждого множества как бы проглатывает точки пересечения всех остальных множеств, которые не принадлежат этому множеству.

На этом рисунке, данном в качестве примера, точка P принадлежит пересечению множеств A₁, A₂, A₃, но не принадлежит множеству A₄, и как видно, не принадлежит и пересечению всех этих множеств A₁, A₂, A₃, A₄.

2) Множества системы A_α можно представить как дыры в множестве E, которое играет роль стены. Дополнение каждой дыры - часть стены, оставшаяся после создания дыры. Пересечение дополнений дыр - пересечение стенок - это общая часть стенки. Накладывание дыр - это объединение множеств A_α - общая дыра. Дополнение к объединению дыр - общей дыре - оставшаяся общая стенка.