Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Рассмотрим знакочередующийся ряд:

u₁ - u₂ + u₃ - u₄ + u₅ - u₆ + ... (u_n > 0) такой, что u₁ > u₂ > u₃ >... и u_n стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Такой ряд сходится, его сумма положительна и не больше, чем значение первого члена. Судите сами. Вот мы отняли u₂, которое меньше, чем u₁. Значит, s₂ = u₁ - u₂ - некое положительное число, стоящее левее s₁ = u₁ на числовой оси. Прибавим u₃. Сумма s₃ = u₁ - u₂ + u₃ - это число, стоящее правее числа s₂, но левее s₁, так как отняли больше (u₂), чем прибавили (u₃ < u₂). Теперь вычтем u₄, что даст сумму s₄ = u₁ - u₂ + u₃ - u₄, которая как число стоит правее s₂, так как к s₂ мы прибавили ,больше (u₃), чем отняли (u₄).

Сумма ряда стремится к какому-то s > 0, но меньше u₁ при n→∞.

Теперь более общий случай. Если среди членов ряда есть как положительные, так и отрицательные, то такой ряд называется знакопеременным. Возьмем абсолютные значения членов такого ряда и составим ряд из них:

|u₁| + |u₂| + ... + |u_n| + ... .Если при этом составленный ряд сходится, то сходится и первоначальный знакопеременный ряд u₁ + u₂ + ... + u_n + ... также сходится. Пусть s'_n - сумма положительных членов ряда, а s''_n - сумма абсолютных значений отрицательных членов. Тогда сумма знакопеременного ряда выражается так: s_n = s'_n - s''_n, а сумма ряда из абсолютных величин так: q_n = s'_n + s''_n. Если сходится q_n к q, то s'_n и s''_n сходятся к s' и s'' как положительные возрастающие величины. Отсюда получаем, что s_n сходится к s' - s''.