Задача про квадратное неравенство с параметрами

Я начал решать задачи из книжки "А.Я. Дороговцев. Математический анализ. Сборник задач. 1987" (есть тут ).

Есть такая задача, но я поменяю символ для параметра на t, так как мне при объяснении нужно использовать символ a.

Вот задача 1 главы I параграфа 1:

I.1.1 Определить множество A, если:

5) ∀t ∈ A ∃ x ∈ R : 3t + 2tx - x² > 0.

Разберем ее решение.

Решение этой задачи связано со свойствами квадратичной функции. Уравнение квадратичной функции выглядит так:

y = ax² + bx + c.

График функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, если a > 0 и вниз - если a < 0. Дискриминантом называют выражение D = b² - 4ac. Если D > 0, то парабола пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых являются корнями уравнения ax² + bx + c = 0. При D = 0 парабола будет касаться оси Ox в одной точке, а уравнение ax² + bx + c = 0 будет иметь один корень, равный абсциссе этой точки. При D < 0 парабола будет лежать выше оси Ox при a > 0, и ниже - при a < 0, а квадратичное уравнение не будет иметь корней. Все можно посмотреть на нижележащем рисунке:

Графики показывают как меняются значения выражения от x, a и дискриминанта. Например при a > 0 и D > 0 видим, что выражение ax² + bx + c больше нуля на интервале (-∞, x1) и на интервале (x2, +∞). Левый верхний график.

Теперь применим полученные знания. Рассмотрим квадратичную функцию y = -x² + 2tx + 3t. Я просто переставил местами члены в выражении. Здесь, a = -1. Это значит, что ветви параболы функции y = -x² + 2tx + 3t будут направлены вниз. Нам нужно определить, при каких a выражение -x² + 2tx + 3t будет больше 0. Другими словами, нужно найти те интервалы на оси Ox, в которых функция y = -x² + 2tx + 3t принимает значения больше 0. А это возможно только, если дискриминант больше 0. Найдем дискриминант по формуле

D = b² - 4ac:

D = (2t)² - 4(-1)3t = 4t² + 12t = 4t(t + 3)

Решим неравенство 4t(t + 3) > 0 и получим, t > 0 и t < - 3. Или, если выразить в интервалах,

(-∞, -3) ∪ (0, +∞). То есть мы нашли ответ A ⊂ (-∞, -3) ∪ (0, +∞), хотя в ответах к книге указаны полуинтервалы

A ⊂ (-∞, -3] ∪ [0, +∞). Это мне кажется неверным, так как при a = 0 или a = -3 функция -x² + 2tx + 3t будет иметь в качестве максимального значения 0.