Площадь кругового сектора

Площадь всего круга, как известно, выражается формулой "пи-эр-квадрат".

С чего вдруг. Разбираемся. Найдем сначала площадь верхней половины круга.

Рассмотрим рисунок:

На рисунке изображен круг с центром в начале координат, ограниченный окружностью радиуса R. Уравнение окружности, чей центр лежит в начале координат (точке (0; 0)), выглядит так:

x² + y² = R².

Верхняя половина круга ограничена линией y = (R² - x²)^1/2. Я вынес x² в правую часть уравнения окружности и взял квадратный корень. Для нижней части уравнение будет y = -(R² - x²)^1/2. Таким образом, площадь верхней половины круга можно найти как определенный интеграл от функции y = (R² - x²)^1/2 в интервале (-R; R). Но сначала найдем неопределенный интеграл:

Для того, чтобы найти второй интеграл, применим интегрирование по частям, которое выражается формулой:

Получаем:

Подставляем его в исходное выражение:

Перекидываем интеграл из правой части равенства в левую и делим на два:

Теперь можно найти определенный интеграл и, следовательно, площадь полукруга:

Площадь круга, очевидно, в два раза больше площади полукруга.

Можно подойти несколько по-другому и найти сразу площадь произвольного криволинейного сектора.

Рассмотрим круговой сектор, дуга которого α радиан. Одна сторона сектора лежит на оси Oy, а другая на луче OM. Точка M (Rcosθ; Rsinθ) проецируется в точку M_x (Rcosθ; 0) на оси Ox. Чтобы найти площадь кругового сектора, изображенного на рисунке, нужно вычислить интеграл, чья формула была получена ранее, на интервале от 0 до Rcosθ и вычесть площадь треугольника OMM_x.

Площадь треугольника OMM_x:

Вычтем ее и получим:

Радиан - мера угла, альтернативная градусу. Если градус - 1/360 доля круга, то полкруга как угол в 18 веке стали принимать как π радиан. Следовательно радиан - это такой угол, если полкруга (180 градусов) поделить на π. Что-то около 57 градусов. Составим пропорцию, зная что весь круг как угол равен 2π, через α обозначив угол произвольного сектора, а через S - его площадь:

Найдем S:

Пропорциональность углового размера кругового сектора и его площади исходит из того, что круг симметричная фигура.