Дистрибутивность пересечения (общие рассуждения)

Пусть множество A пересекается с множеством C. Пусть также множество B пересекается с множеством C. Пересечение ABC множеств A, B, C может появиться, если только A пересекается с B. Если A не пересекается с B, то пересечение ABC не может появиться, поскольку оно предполагает наличие общих точек для A, B и C, а для этого необходимо, чтобы вообще существовали точки, общие для A и B.

Пусть A и B пересекаются, но пересечение ABC - пусто (нет пересечения сразу всех трех множеств). Будем двигать множество C (вообразите три круга, каждый из которых представляет одно из множеств A, B или C) в сторону пересечения AB. Пересечения AC и BC при этом будут также двигаться в сторону AB. В момент, когда C наедет на пересечение AB, образуется пересечение ABC.

Рассмотрим рисунок. Желтым цветом выделено пересечение ABC. Допустим, что вначале множество C - такое, что в нем отсутствует этот желтый кусок. Дистрибутивность пересечения очевидна (A+B)C=AC+BC.

AC - зеленый кусок, BC - синий кусок. Пересечение C с объединением A+B будет состоять из объединения синего и зеленого кусков. Теперь расширим наше множество C - прибавим к нему желтый кусок. По сути мы прибавили к множеству C часть пересечения AB. Как можно заметить, к бывшему пересечению C с A+B добавится этот желтый кусок. Став частью C, этот желтый кусок пересечения AB добавится к бывшему пересечению AC, расширив его. Также этот же кусок добавится к бывшему пересечению BC, расширив его. Соль в том, что при объединении AC и BC этот желтый кусок просто наложится сам на себя.

В таком рассмотрении закон дистрибутивности пересечения относительно объединения множеств становится наиболее очевиден, во всяком случае для меня.