Логические законы.

Данная теория вряд ли будет понятна с первого раза. Статья призвана попытаться облегчить понимание для тех, кто читал что-то в книжках, но не понял.

Логические законы - это такие конструкции из букв и логических символов, что если вместо букв подставить высказывания, то конструкция будет иметь значением истину. Из данного определения сложно что-то понять.

Остановимся на нескольких конкретных законах.

Выражение p /\ q означает, что выражение истинно, если истинны и выражение p, и выражение q.

То есть, если истинны оба выражения его составляющие. Знак /\ - это знак "И".

Знак \/ ("ИЛИ") делает составное выражение истинным, если хотя бы одно из составляющих выражений истинно.

Законы дистрибутивности.

1-й: [p /\ (q \/ r)] ≡ [(p /\ q) \/ (p /\ r)]

В левой части для того, чтобы выражение было истинным, обязательно должно быть истинным выражение p и хотя бы одно из выражений q и r. При этом:

1) либо p и q будут оба истинными,

2) либо p и r будут истинными,

3) либо и p и q, и p и r будут оба истинными.

2-й: [p \/ (q /\ r)] ≡ [(p \/ q) /\ (p \/ r)]

Для истинности левой части либо p, либо оба q и r должны быть истинными.При этом в случае, если истинно p, оно истинно в обеих подвыражениях в правой части. А если истинны оба q и r, то истинность p уже не повлияет на все выражение в правой части.

Законы де Моргана:

¬ - знак отрицания, он делает ложное выражение истинным, а истинное - ложным.

1-й: ¬(p \/ q) ≡ (¬p /\ ¬q)

В левой части истина будет при обоих ложных p и q. Оба ложных p и q в правой части превращаются отрицаниями в истинные выражения. Причем только если оба p и q ложны, то отрицания дадут две истины, соединенные знаком /\, который даст истину, если только оба его составляющих истинны.

2-й: ¬(p /\ q) ≡ (¬p \/ ¬q)

Только если оба p и q будут истинны, то будет ложь в обеих частях тождества.

Закон де Моргана на множествах. Здесь минус перед буквой означает дополнение множества, помеченного этой буквой.

-(A⋂B)=-A∪-B. Рассмотрим рисунок:

Видим пересечение двух множеств - оно обведено контуром красного цвета. Если рассмотреть дополнение на плоскости множества, помеченного горизонтальной штриховкой, то оно захватит ту часть множества, заштрихованного вертикально, которое не является их пересечением (общей частью). Я поставил на этой захватываемой части крестик в знак того, что оно как бы съедается дополнением множества, помеченного горизонтальной штриховкой. Само дополнение как бы окружает свое множество в виде синего контура. Дополнение множества можно рассматривать как что-то, что поглощает все, что валяется снаружи множества.

Аналогично для дополнения множества, помеченного вертикальной штриховкой. Оно съест ту часть множества, помеченного горизонтальной штриховкой, которая не является пересечением.

Объединение дополнений множеств съест части от обеих множеств. Грубо говоря, дополнение чужого множества, находясь в составе объединения дополнений, может съесть ту часть множества, на которое не смеет позариться свое дополнение. Объединение дополнений не может съесть пересечение, так как пересечение - часть обеих множеств. А дополнение, как я сказал, "не ест" свое множество.

Из формулы видно, что дополнение от пересечения множеств равно объединению дополнений этих множеств.

-(A∪B)=-A⋂-B. Здесь проще. Что такое дополнение от объединения множеств - это то, что лежит за рамками обоих множеств. В примере выше, дополнение объединения - это та часть плоскости, что лежит за гранью двух слипшихся комков на рисунке. А что такое пересечение дополнений? Это их общая часть, лежащая за гранью слипшихся комков.