Точные границы числовых множеств

Обозначим множество чисел через {x}, а его элементы - через x.

Если все элементы x множества {x} меньше какого-то конечного числа M, то есть x <= M, то такое число M называется верхней границей этого множества. Само множество {x} при этом называется ограниченным сверху. Если множество не ограничено сверху, то за его верхнюю границу принимают число +∞.

Если множество имеет конечную верхнюю границу M, то оно также имеет бесконечное множество верхних границ, так как любое число β, которое больше верхней границы M, подавно больше любого элемента множества {x}, а, значит, также является верхней границей множества {x}.

Наименьшая среди всех верхних границ множества называется его точной верхней границей.

Если множество ограничено сверху, то оно всегда имеет точную верхнюю границу.

Если множество конечно, то среди его чисел можно найти наибольшее. Оно и будет точной верхней границей этого множества.

Если множество бесконечно, то тут нужно показать более развернуто. Обозначим точную верхнюю границу множества через β. Возьмем сколь угодно малое ε > 0. Тогда среди элементов x множества есть такие, что

x > β - ε. То есть существуют сколь угодно близкие к точной верхней границе и одновременно меньшие, чем она элементы множества. Скажем, по-другому. Если множество бесконечно, то у него нет наибольшего элемента, так как какой бы мы элемент ни брали, можно взять еще больший. Но если множество при этом еще и ограничено сверху, то все эти элементы множества всегда остаются меньше какого-то числа - оно ведь ограничено сверху.

Наглядный пример

Это похоже на следующую ситуацию. Рассмотрим автомобиль, перед которым в паре шагов находится стена. Пусть этот автомобиль способен двигаться настолько малыми шажками, насколько это нужно - на миллиметры, микрометры, на ангстремы - короче на бесконечно малые расстояния. Так вот, мы можем двигаться на этом автомобиле, делая каждый раз все меньшие шажки. Пусть в данный момент расстояние до стены равно 2м. Передвинемся на 1м, расстояние от стены сократится до 1м. Передвинемся на полметра, расстояние от стены сократится до 0.5м. Передвинемся на 0.25м, расстояние от стены сократится до 0.25м. То есть все время передвигаемся на шаг, равный половине расстояния от стены. Можно двигаться так бесконечно и никогда не достигнуть стены, потому что автомобиль будет двигаться всегда на шаг, равный половине оставшегося расстояния до стены. Позиции автомобиля (координаты передней точки радиатора или капота) будут являться элементами некоей последовательности, а сама стена - точной верхней границей, если считать что автомобиль движется в сторону больших значений координат. Поэтому, какое бы мы расстояние β - ε от стены ни взяли, автомобиль рано или поздно достигнет позиции x > β - ε.

Аналогично можно провести рассуждения и пример для точной нижней границы, поэтому, я не буду здесь это расписывать.