БПППИ. Дифференциал функции нескольких переменных

Полное приращение функции двух переменных Δz = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y) или

Δz = [f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y+Δy)] + [f(x, y+Δy) - f(x, y)].

По теореме Лангранжа найдется точка y' между y и y+Δy такая, что f(x, y+Δy) - f(x, y) = Δyf'_y(x, y'). Аналогично найдется точка x' между x и x+Δx такая, что f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y+Δy) = Δxf'_x(x', y+Δy).

Δz = f'_x(x', y+Δy)Δx + f'_y(x, y')Δy. В пределе, когда Δx→0 и Δy→0, x' будет приближаться к x, а y' будет приближаться к y, и получим dz = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy. На рисунке видно, что приращение функции при изменении одного из аргументов можно на основании теоремы Лангранжа заменить умножением приращения этого аргумента на производную в точке, лежащей внутри отрезка-приращения аргумента.

Допустим, что сами переменные x и y зависят от переменных t и s:

x=x(t, s) и y=y(t, s). В таком случае z - сложная функция от t и s. Дадим приращение t, оставляя s постоянным. Тогда x и y получат приращения Δx_t и Δy_t соответственно, а z получит приращение:

Δz = f'_xΔx_t + f'_yΔy_t . Разделим обе части равенства на Δt, перейдем к пределу при Δt→0:

z'_t = f'_xx'_t + f'_yy'_t. Это легко понять, так как это та же формула для дифференциала, только поделенная на dt.