БПППИ. Теорема Лангранжа

Теорема Лангранжа также не трудна для понимания.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется по крайней мере одна точка c, a < c < b, что f(b) - f(a) = f'(c) (b - a).

Обозначим k = (f(b) - f(a)) / (b - a). Функция F(x) = f(x) - (f(a) + (x - a)k) представляет разность ординат кривой y = f(x) и хорды y = f(a) + k(x - a) для точек с одинаковой абсциссой. Показан пример на рисунке синим. Так как функция F(x) непрерывна и дифференцируема внутри [a, b], F(a) = F(b) = 0, то по теореме Ролля имеем:

F'(c) = 0 где -то на отрезке [a, b]. F'(x) = f'(x) - k. Подставляем c: F'(c) = f'(c) - k. Так как F'(c) = 0, то

0 = f'(c) - k.

То есть f'(c) = k. Подставляя вместо k его выражение, получаем: (f(b) - f(a)) / (b - a) = f'(c) или

f(b) - f(a) = f'(c) (b - a). Смысл теоремы в том, что если во всех точках между точками A и B есть касательные к кривой y = f(x), то в какой-то точке C между A и B касательная параллельна хорде AB.

Видно как касательная в точке A постепенно поворачивается при движению по кривой в точку B. Производная характеризует тангенс касательной. То есть если двигаться по хорде AB, скорость изменения функции постоянна. Но можно начать из точки A с большей скоростью роста значений функции и, например, постепенно уменьшать ее так, что в итоге функция достигнет значения в точке B, что видно на графике. Это подобно тому как ехать с одинаковой скоростью между двумя пунктами (привет школьным задачкам) или постоянно меняя скорость, пытаясь уложиться в то же время.