Показательная и логарифмическая функции

Как известно под степенью n любого числа a понимают результат его умножения на себя n раз:

a * a * a *...* a = aⁿ

\___________/

|

n раз

Если степень отрицательна, то просто единицу делят на число в той же по абсолютному значению, но в положительной степени: a^-n = 1 / aⁿ. Число в степени нуль равно единице: a⁰ = 1.

Обратимся к свойствам степеней.

Действительно, банальная перегруппировка множителей все объясняет.

Перемножим a сначала n раз, потом отдельно m раз. Результаты также перемножим. Получится, что перемножили m+n раз.

Число a в степени n перемножается m раз, что равнозначно умножить a на себя n раз, а результат перемножить на себя m раз. Это дает перемножение a на себя mn раз.

Теперь о логарифме. Логарифм числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую надо возвести данное основание a, чтобы получить число b. Обозначается это следующим образом: log_ab = c.

Логарифм произведения:

Логарифм степени:

Смысл понятен - свойства логарифмов вытекают из свойств степеней.

Производная логарифмической функции.

Обозначим как Δy приращение функции y = logax, соответствующее приращению Δx аргумента x, получим:

Теперь найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

Учитывая то, что:

получаем формулу производной:

Выпишем свойство натурального логарифма:

Окончательно, производная логарифма равна: