Пределы

Пределы являются основополагающим фундаментом при доказательстве и понимании теорем о производных и интегралах, по сути своей являющихся пределами.

Пусть переменная x принимает ряд значений x₁, x_2, x_{3, ...,} x_n... Пределом переменной x = x_n называется постоянное число a, если для каждого положительного числа e независимо от того, насколько оно мало, при некотором значении номера N все значения x_n, у которых номер n > N, удовлетворяют неравенству

|x_n - a| < e.

Если пределом переменной x является a, то записывают lim x = a или lim x_n = a. Также говорят, что переменная x стремится к a и пишут x->a. Если переменная x_n стремится к 0, то ее называют бесконечно малой. Переменную через предел можно выразить так

x_n= a + a_n,

где a_n - бесконечно малая.

Теперь рассмотрим теоремы о пределах.

1. Если для переменных x_n, y_n всегда выполняется неравенство x_n >= y_n, то их пределы

lim x_n = a и lim y_n = b удовлетворяют неравенству a >= b. Это вполне понятно, поскольку при приближении переменных x_n и y_n к своим пределам, неравенство будет выполняться при любом N. Можно брать все более близкие к пределам значения переменных и неравенство x_n >= y_n будет выполняться, так как это задано в условии. Значит и предельные значения x_n и y_n будут удовлетворять неравенству x_n >= y_n, а предельные значения x_n и y_n и есть их пределы a и b. Достаточно немного поразсмыслить.

2. Если переменные x_n и y_n имеют конечные пределы lim x_n = a и lim y_n = b, то их сумма и разность определяются так

lim (x_n + y_n) = a + b, lim (x_n - y_n) = a - b.

Аналогично предыдущим рассуждениям можно брать все более близкие к предельным значения переменных x_n и y_n. Их сумма x_n+ y_n тогда будет все меньше отличаться от суммы их пределов a + b, так как переменные сами будут все меньше отличаться от своих пределов. Сумма x_n+ y_n при предельных значения x_n и y_n станет не отличной от суммы a + b. Так как предельные значения x_n и y_n - это и есть их пределы a и b.

Аналогично можно рассмотреть предел разности, произведения и отношения переменных x_n и y_n, причем в случае отношения предел делителя не должен равняться нулю.

Существуют случаи, когда предел делителя равен нулю или переменные имеют бесконечные пределы. В таких неопределенных случаях нужно каждый случай рассматривать отдельно.