Грани и точные грани

Представьте себе чайник с водой. Поставим его на плиту и начнем подогревать. Допустим сейчас температура воды в чайнике 25 градусов. Прежде, чем чайник закипит, температура воды в чайнике пройдет множество значений пока не дойдет до 100 °C. То есть в какой-то момент температура воды в чайнике будет 40°C, потом 50°C, ..., 90°C... 100°C. Что произойдет с водой при температуре выше 100 градусов всем известно - она начнет превращаться в пар. существуют более высокие температуры, например 200 и 300 градусов. 100, 200, 300°C можно назвать верхними границами для температуры воды в чайнике. Но точной верхней границей можно назвать только 100°C.

Теперь начнем охлаждать воду. При температуре 0°C вода превратится в лед, который можно охлаждать дальше. Температуры в минус 200 и минус 150, минус 50 градусов будут нижними границами для температуры воды. Точной нижней границей для температуры воды является 0°C.

Рассмотрим окружность с центром в точке O радиуса R и окружность с центром в той же точке меньшего радиуса r:

В пространстве между окружностями есть бесконечно много точек, расстояние d которых до центра O будет лежать между r и R. Обозначим через D множество расстояний точек, лежащих между окружностями с радиусами r и R, до центра O. r - точная нижняя грань, R - точная верхняя. Можно нарисовать окружности радиуса больше R (синие тонкие круги), их радиусы для множества D будут просто верхними гранями. Радиусы меньше r будут просто нижними гранями для множества D (красные тонкие круги).

Рассмотрим множество, составленное из вещественных чисел по какому-то правилу. Вообщем, если для множества чисел существует число, которое не может превысить ни один член множества, то такое число является верхней гранью и говорят, что множество ограничено сверху. Аналогично, множество ограничено снизу, если есть число, меньшее всех чисел множества.

Наименьшее число, которое больше каждого из элементов множества, называется точной верхней гранью числового множества и обозначается как "sup". От латинского supremum - самый высокий.

Наибольшее число, которое меньше каждого из элементов множества, называется точной нижней гранью числового множества и обозначается как "inf". От латинского infimum- самый низкий.

Пример:

A = {1/n : n ∈ N}

sup A = 1

inf A = 0

Можно запомнить "sup" по "up" ("вверх" по - английски), а "inf" как "Inferno" ("ад" по-английски). Ад как правило находится внизу.