БПППИ. Теорема Ролля

Теорема Ролля говорит, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x=a и x=b обращается в нуль, т.е. f(a) = 0 и f(b) = 0, то внутри отрезка [a, b] существует по крайней мере одна точка x = c, a < c < b, в которой производная f'(x) обращается в нуль, т.е. f'(c) = 0.

Доказательство. Функция может быть просто равна 0 во всех точках отрезка [a, b]. Тогда теорема очевидна - производная от постоянно равна нулю. Рассмотрим теперь случай, когда функция не равна нулю на отрезке [a, b]. Так как функция непрерывна, то как бы она не изменялась от точки a к точке b (возрастала, убывала), она по условию всегда станет равной нулю в точке b. То есть если на каком-то участке отрезка [a, b] функция убывает, то она должна плавно перейти в возрастание, а если возрастает - должна плавно перейти в убывание. То есть график функции будет набором ям и холмов грубо говоря с округлыми низинами и вершинами. Смотрите. Допустим, из точки a функция начала расти. Чтобы в точке b функции стать нулем, она должна в какой-то момент прекратить расти и начать убывать. Причем последовательных возрастаний и убываний может быть неограниченное множество в зависимости от природы функции. В силу непрерывности как бы высоки ни были эти горы и как бы глубоки ни были впадины, высота гор и глубина впадин - конечные значения. Из школьной математики известно, что вершины гор называются максимумами, а низины впадин - минимумами функции. Обои - экстремумами.

Также из той же школьной математики известно, что в точках экстремума (минимума или максимума) производная функции обращается в нуль, что объясняется очень просто. Производная - это скорость изменения функции. Поэтому, если допустим, функция возрастала, то при приближении к максимуму она должна начать снижать скорость роста (производную), пока не дойдет до нуля, а потом повышать скорость падения (производная принимает все более высокие по модулю отрицательные значения).

Другими словами, теорема Ролля говорит, что если функция на отрезке, в концах которого она принимает нуль, росла (падала), то где-то на этом отрезке она должна притормозить до нуля - остановить свой рост (падение), чтобы начать падать (расти) прежде чем стать нулем в точке b.