Алгебраическая операция

Известно, что можно перемножать и складывать не только числа, но и векторы, матрицы. Существует также понятие отображения одного множества в другое. Обобщая понятия умножения, сложения и прочих операций, в алгебре вводится понятие алгебраической операции.

Рассмотрим произвольное непустое множество X. Внимание. Произвольное - значит, элементами X могут быть объекты любой природы. Итак, каждой упорядоченной паре (a, b) элементов этого множества ставится в соответствие вполне определенный элемент c из этого же множества. Тогда говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция. Элемент c называют при этом композицией элементов a и b и пишут

c = a o b. Значок "o" означает символ алгебраической операции.

Так как множество упорядоченных пар множества по сути есть декартов квадрат этого множества, алгебраическую операцию можно представить как произвольное отображение X²→X.

Примеры. Если в качестве алгебраической операции рассматривать сложение, а в качестве множества взять множество действительных чисел, то получим обыкновенное всем известное сложение c = a + b. Вектора тоже можно складывать - известно, что сумма векторов тоже является вектором, т. е. сумма векторов также является элементом множества векторов.

Можно найти некие элементы из множества n ∈ X, которые при применении к ним алгебраической операции в паре с любым другим элементом a ∈ X этого же множества дадут тот же элемент a ∈ X:

a o n = n o a = a. Такой элемент является единственным для данного множества с определенной на нем алгебраической операцией. Его называют нейтральным. Например, сумма любого числа с нулем или умножение любого числа на единицу дают те же самые числа. 0 - нейтральный элемент для операции сложения, 1 - нейтральный элемент для операции умножения на множестве действительных чисел.

Если для любых элементов a, b, c ∈ X справедливо a o (b o c) = (a o b) o c, то данную алгебраическую операцию "o" на множестве X называют ассоциативной. Если для любых элементов a, b ∈ X справедливо

a o b = b o a, то данную алгебраическую операцию "o" на множестве X называют коммутативной. Вообще, если операция над элементами какого-либо множества дает в результате элемент этого же множества, говорят, что множество замкнуто относительно этой операции. Как пример, известно, что сложение чисел не зависит от перестановки слагаемых, а умножение чисел - от перестановки множителей (коммутативность). При сложении чисел результат не зависит от наличия и расположения скобок, также как и при умножении чисел результат также не зависит от наличия и расположения скобок.

Также нужно упомянуть, что если композиция двух элементов в любом порядке дает нейтральный элемент a o b = b o a = n, то данные элементы симметричны друг другу. Причем, для каждого элемента можно для данной операции найти не более одного симметричного ему элемента.