Embedded Files
В каждом из отрезков [xi;xi+1], где i от 0 до n-1 наметим точку ξi и возьмем в ней значение функции f(x).
Полученное значение функции в точке ξi умножим на Δxi:
f(ξi)Δxi. Сложим все полученные произведения: Σ f(ξi)Δxi. Заметим что при увеличении n максимальное из Δxi стремится к нулю.Так вот, определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел суммы Σ f(ξi)Δxi при максимальном из Δxi, стремящемся к нулю:
Рассмотрим функцию f(x) на отрезке [a;b]. Разобъем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом точками a=x0, x1, ..., xn-1, xn = b. То есть за x0 примем a, за xn примем b. Остальные точки располагаются между a и b. То есть отрезок [a;b] будет состоять из отрезков [x0;x1], [x1;x2], ..., [xn-1;xn]. Обозначим Δx1 = x1 - x0, Δx2 = x2 - x1, ..., Δxn = xn - xn-1. Заметим, что точки x1, ..., xn-1 выбраны случайным образом и Δx их могут быть и не равны между собой, но все Δx больше нуля, так как x1 расположена правее x0, x2 - правее x1. И так далее.
То есть определенный интеграл это:
1) предел;
2) предел суммы;
3) предел суммы чего. Делим отрезок интегрирования на части, в каждой из частей находим произведение значения функции в какой-либо точке части на длину этой части. Складываем эти произведения.
4) предел когда - когда длина наибольшей из частей стремится к нулю.
Теперь вопрос - когда определенный интеграл может быть отрицательным. Это зависит, во-первых от порядка интегрирования. То есть можно разбить отрезок так b = x0, x1, ..., xn-1, xn = a. Тогда Δx для любой части станет меньше нуля. В знаке интеграла a и b (нижний и верхний предел интеграла) меняются местами. Теперь Δxi = xi+1 - xi на отрезке [xi+1; xi], где при разбиении b = x0, x1, ..., xn-1, xn = a значение xi+1 меньше значения xi, так как xi+1 расположен теперь левее xi. Таким образом Δx теперь < 0.
Во- вторых, значения самой функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Вклад отрицательной части на отрезке [a; b] может превысить вклад положительной.
Page updated
Google Sites
Report abuse