Признак сходимости

Рассмотрим определение: последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного числа ε найдется номер N такой, что для всех номеров n >= N и для всех натуральных чисел p справедливо неравенство |x_n+p - x_n| < ε.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательства есть в любом не кратком учебнике по матанализу.

То есть последовательность сходится, если разница значений между ее все более далекими членами становится меньше.