Двойной интеграл. Свойства

Двойной интеграл от суммы двух функций по одной и той же области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности:

Док-во:

Ясно, что это справедливо для любого числа слагаемых.

То, что постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, доказывается точно также на основании свойств предела.

Если область D разделить на две площадки D₁ и D₂, то двойной интеграл по области D будет равен сумме двойного интеграла по области D₁ и двойного интеграла по области D₂. Это легко понять. Ведь графически двойной интеграл представляет собой объем некоторого цилиндра с нижним основанием D и неровным в общем случае верхним основанием. И если разрезать данный цилиндр нитью, натянутой перпендикулярно плоскости области D, как будто режем кусок масла, то сумма объемов получившихся цилиндров будет равна объему разрезаемого цилиндра. Если вы режете масло, то сумма объемов получившихся кусков будет равна объему первоначального разрезаемого куска.