Дифференциальные уравнения. Обыкновенные

Уравнение, которое выражает связь между независимой переменной x, искомой функцией y = f(x) и ее производными y', y'', y⁽ⁿ⁾, называется дифференциальным уравнением.

Если искомая функция y = f(x) зависит только от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Наибольший порядок производной, которая входит в уравнение, определяет порядок самого уравнения. То есть, если говорят, что дифференциальное уравнение второго порядка, то имеют ввиду, что максимальный порядок производных, входящих в уравнение, равен двум.

Например, y''' + 2y' - x³y³ - 8 = 0 - уравнение третьего порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция y = f(x), которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. Решение дифференциального уравнения также называют интегралом дифференциального уравнения.

Если интеграл дифференциального уравнения содержит такое число независимых произвольных постоянных (!внимание, постоянных), каков порядок уравнения, то такой интеграл называется общим интегралом дифференциального уравнения. Функция, получающаяся из общего интеграла при различных значениях произвольных постоянных, называется частным интегралом дифференциального уравнения. Функция y = cos(2x + C₁) + C₂, удовлетворяющая уравнению 2-го порядка

(y'')² + 4(y')² - 16 = 0, содержащая две произвольных постоянных C₁ и C₂, является общим интегралом этого уравнения. А функции y = cos2x, y = cos(2x + 1) - 7, y = cos2x + 2 получаются из общего интеграла, если подставить в его выражение различные значения постоянных C₁ и C₂, и являются частными интегралами уравнения (y'')² + 4(y')² - 16 = 0.

Чтобы отыскать значения коэффициентов C₁, C₂,..., C_n, необходимо задать начальные условия x₀, y(x₀) = y₀, y'(x₀) = y'₀, y''(x₀) = y''₀, ..., y^(n-1)(x₀) = y^(n-1)₀. Отыскание частного интеграла, удовлетворяющего этим частным условиям, называется задачей Коши.