Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл.

Рассмотрим кривую L с концами A и B. Пусть в точках этой кривой задан некий вектор F, который меняет направление и значение при движении вдоль кривой от точки A до точки B. То есть вектор F - векторная функция координат точек кривой. Буквой P обозначим произвольную точку кривой.

Разобьем кривую AB на n произвольных частей точками A=M₀,M₁,M₂,...,Mn=B в направлении от A к B и обозначим через Δs_i вектор M_iM_i+1. Величину вектора F в точке M_i обозначим F_i. Выразим вектор F через проекции на оси Ox и Oy:

F = X(x, y)i + Y(x, y)j.

Теперь выразим вектор приращения координат Δs_i при переходе от точки M_i к точке M_i+1:

Δs_i = Δx_ii + Δy_ij.

Выразим скалярное произведение вектора F_i на вектор Δs_i:

F_iΔs_i = X(x_i, y_i)Δx_i + Y(x_i, y_i)Δy_i.

Теперь возьмем сумму таких скалярных произведений по всей кривой AB:

Устремим Δs_i, а, следовательно, и Δx_i и Δy_i к нулю. Предел этой суммы примет вид:

Этот самый предел называется криволинейным интегралом от X(x, y) и Y(x, y) по кривой L и обозначается:

или

В случае замкнутой кривой криволинейный интеграл обозначают еще так (опуская аргументы для краткости):

Вообще говоря, речь шла о криволинейном интеграле второго рода. Причем, отдельные слагаемые так и называют - криволинейными интегралами второго рода, а их сумму называют общим криволинейным интегралом второго рода.

Рассмотрим некоторую функцию f(x, y) на той же кривой L. Также разобьем ее на те же части. Кривую L можно представить как параметрическую зависимость от некоторого параметра t так:x = φ(t), y = ψ(t). Таким образом каждой точке M_i будет соответствовать параметр t_i. На каждой частичной дуге M_iM_i+1 возьмем точку N_i(ξ_i, η_i), координаты ξ_i, η_i которой отвечают некоторому значению τ_i параметра t:ξ_i = φ(τ_i), η_i = ψ(τ_i), причем t_i <= τ_i <=t_i+1. Обозначим длину дуги M_iM_i+1 как Δl_i.Составим сумму произведений значений функции в точках дуг на длины дуг:

Предел этой суммы при стремлении наибольшей из длин Δl_i частичных дуг к нулю называется криволинейным интегралом первого рода:

Так как длина дуги - положительная величина, криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования. А вот криволинейный интеграл второго рода при смене направления интегрирования меняет знак на противоположный:

Для случая пространственной кривой совершенно аналогично выводятся три криволинейных интеграла второго рода, общий криволинейный интеграл второго рода и криволинейный интеграл первого рода.

Вычисление криволинейного интеграла.

Прежде всего нужно отметить, что криволинейны интеграл как предел не зависит от способа разбиения кривой L на частичные дуги и выбора точки на частичной дуге, в которой берется значение функции. Концам дуги A и B соответствуют значения параметра t: α и β. В каждой частичной дуге возьмем точки N_i(x'_i, y'_i), значения функций X(x, y) и Y(x, y) в этих точках умножим соответственно на приращения Δx_i и Δy_i.Выразим криволинейные интегралы как пределы:

Разность Δx_i можно выразить как Δx_i=x_i+1 - x_i=φ(t_i+1) - φ(t_i).По формуле Лангранжа имеем:

Δx_i = φ(t_i+1) - φ(t_i) = φ'(τ_i)(t_i+1 - t_i) = φ'(τ_i)Δt_i, где t_i <= τ_i <=t_i+1. То есть мы приращение функции можем выразить через производную и приращение аргумента. В данном случае x - функция параметра t.

В виду произвольности выбора точки N_i(x'_i, y'_i) на частичной дуге выберем ее так, чтобы ее координаты отвечали значению параметра τ_i:

x'_i = φ(τ_i), y'_i = ψ(τ_i).

Подставляя полученные выражения в формулу предела и, пользуясь определением, запишем:

Нетрудно заметить, что в правых частях стоят интегралы функции от t на интервале [α, β]:

Окончательно, получим:

Как видно все дело сводится к выражению функции нескольких переменных к сложной функции одной переменной и взятию определенного интеграла. То есть функция, например, X зависит от двух переменных x и y. Выражаем x и y через t. Получаем сложную зависимость X от одной переменной t. Приращения x и y выражаются через производную их от t и через приращение t при помощи теоремы Лангранжа. Составление суммы произведений функции на приращения аргументов и взятие предела суммы - стандартные операции при определении понятия определенного интеграла.

По сути криволинейный интеграл второго рода - это тот же определенный интеграл, только взятый от сложной функции. Легче пояснить на примере. Допустим функция X(x, y) задана в точках кривой L, лежащей на плоскости. Значения функции X будем откладывать по оси, перпендикулярной плоскости Oxy для удобства. Светлая фигура показывает значения функции X(x,y) вдоль кривой L. Она строится так:берем точки кривой L и в каждой из точек откладываем отрезки перпендикулярно плоскости Oxy (грубо говоря вверх, если значения функции X(x, y) положительные, и вниз, если значения отрицательные), длина которых равна абсолютному значению функции X(x, y). Более темная фигура строится так: из концов отрезков, соответствующих значениям функции X(x, y) опускаются перпендикуляры на плоскость, перпендикулярную оси Oy и проходящую через ось Ox, до пересечения с ней. Получим точки пересечений. Из них опустим перпендикуляры на ось Ox.

Темная фигура соответствует (ее площадь равна) определенному интегралу от функции X(x, y), также равна криволинейному интегралу по dx. Помните, для их вычисления значения функции X(x, y) умножаются на Δx (dx в пределе). Казалось бы, можно взять бесконечно много кривых типа L таких, чтобы построить на них "светлые" фигуры, проекцией которых будет та же темная фигура. Как будто y вообще здесь не причем. Обратите внимание, кривая L соответствует некоторой функции y=f(x). То есть функция X(x, y) зависит от x сложной зависимостью X(x, f(x)). Если взять другую кривую y=g(x), чтобы построенная на ней "светлая" фигура спроектировалась на ту же темную фигуру, в которую проектируется "светлая" фигура, построенная на кривой L, нужна уже будет другая зависимость функции X(x, y) от y. Суть в том, что определенный интеграл, грубо говоря, вычисляется от функции, заданной на отрезке, лежащем на оси Ox, а криволинейный - от функции, заданной на кривой. Светлая фигура - это криволинейный интеграл первого рода при условии, что Y(x, y) = 0.

Может кому-то поможет аналитическое объяснение. Рассмотрим тот же случай. В качестве параметра можно брать x или y. Возьмем в качестве параметра x: x=x, y = f(x). Тогда криволинейный интеграл от X(x,y) найдется по формуле:

Если брать различные постоянные значения y f(x) = C1, f(x) = C2, ... и вычислять криволинейные интегралы, то это уже будут криволинейные интегралы не по кривой L, а по прямым f(x) = C1, f(x) = C2, ... и при f(x) = 0 мы получим самый обыкновенный определенный интеграл. Разумеется, если область задания функции X(x, y) пересекает ось Ox. Надо прежде всего понять, что рассматриваемый в школьном курсе определенный интеграл - это частный случай криволинейного интеграла.

Как мы вычисляем определенный интеграл от X(x, f(x))? Отрезок [a, b] разбивается на n отрезков Δx_i. В каждом Δx_i берется произвольное значение x=χ_i, для которого вычисляется X(χ_i, f(χ_i)) и это вычисленное X(χ_i, f(χ_i)) умножается на Δx_i. Все такие произведения X(χ_i, f(χ_i))Δx_i складываются, то есть составляется их сумма, и вычисляется предел этой суммы при Δx_i→0.

Как мы вычисляем криволинейный интеграл от X(x, f(x))? Точка a - абсцисса (координата на оси Ox) начальной точки кривой L, точка b - абсцисса последней точки кривой L. То есть начальная точка кривой L имеет координаты (a, f(a)), конечная - (b, f(b)). Кривая L разбивается на дуги Δs_i. Если спроектировать дуги Δs_i на ось Ox, то их проекциями на оси Ox будут отрезки Δx_i, на которые разбивается отрезок [a, b]. Для каждой частичной дуги берем на ней произвольную точку (χ_i, f(χ_i)), для которой вычисляется X(χ_i, f(χ_i)) и это вычисленное X(χ_i, f(χ_i)) умножается на Δx_i (проекцию частичной дуги Δs_i на ось Ox). Все такие произведения X(χ_i, f(χ_i))Δx_i складываются, то есть составляется их сумма, и вычисляется предел этой суммы при Δx_i→0. То есть происходит то же самое.