Теорема Коши

Рассмотрим две функции f(x) и φ(x), удовлетворяющие условиям:

1) непрерывные на отрезке [a, b];

2) дифференцируемы внутри него;

3) φ'(x) не обращается в нуль внутри отрезка.

По теореме Коши в этом случае внутри отрезка [a, b] найдется такая точка x = c, a < c < b, что справедливо:

Введем функцию:

Подставив вместо x a и b, можно убедиться, что F(a) = 0 и F(b) = 0. Функция F(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке [a, b]. Значит, существует такое c на отрезке [a, b], что F'(c) = 0.

Найдем производную F(x):

Подставляя c и учитывая, что F'(c) = 0, переносом f'(x) в левую часть равенства и делением обеих частей равенства на φ'(x) ,получим выражение для отношения приращения двух функций, приведенное в начале статьи.