Линейный оператор матрицы

Ниже символом k будет иметься ввиду любое из чисел 1, 2, ..., n. А под символом i будет пониматься любое из чисел 1, 2, ..., m.

Понятия

Перед дальнейшим обсуждением, нужно освежить память о некоторых понятиях.

Пространство - множество с некоторыми свойствами, грубо говоря.

Пространство векторное (или по другому еще говорят линейное)- множество элементов, сумма и умножение которых на число дает элемент этого же пространства. Здесь будут рассматриваться многомерные векторы. В данном случае линейным пространством является такое множество векторов, что сумма любого числа векторов будет вектором и вектор, умноженный на число тоже будет вектором. Ну также должны соблюдаться 8 свойств сложения и умножения. Это можно посмотреть в литературе. Для обычных многомерных векторов они соблюдаются.

Базис - любая совокупность линейно независимых векторов пространства. Для нашего случая в качестве базиса будут браться единичные (их длина равна 1) линейно независимые вектора, называемые ортами. Любой вектор пространства можно разложить по базису этого пространства. В нашем случае - по ортам. Разложить вектор по ортам - значит представить его как сумму ортов, где каждый орт помножен на проекцию вектора на этот орт. Когда мы берем проекцию вектора на орт, то эта проекция является координатой вектора вдоль оси, на которой лежит этот орт. Внимание! Вектор можно разложить по базисам пространств разной размерности (на прямой, на плоскости, в трехмерном пространстве и т.д.) . Грубо говоря вектор вне пространства, где он находится не имеет смысла. Поэтому, когда говорят про вектор, чаще всего имеется ввиду вектор какого-то пространства.

Всякий вектор можно рассматривать как матрицу-столбец, у которой строка состоит из одного элемента или матрицу строку. При умножении матрицы на вектор строка результирующего вектора равна скалярному произведению строки матрицы с тем же номером на исходный вектор.

Основной блок

Итак, поехали.

Представим некий вектор x в базисе e₁, e₂, ..., e_k, ..., e_n n-мерного пространства R. Координаты x₁, x₂, ..., x_k, ..., x_n этого вектора в этом пространстве - это его проекции на орты e₁, e₂, ..., e_k, ..., e_n. То есть проекции вектора на ось - это координаты вектора (по этой оси). Векторы x₁e₁, x₂e₂, ..., x_ke_k, ..., x_ne_n лежат на ортах - это удлиненные орты (каждый орт помножается на соответствующую проекцию). В сумме эти вектора составляют вектор x в пространстве R.

Зададимся другим m-мерным пространством S. Выберем в нем базис g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m. Векторы в этом пространстве S будем обозначать буквой y. Нужно сказать, что вектор полностью определяется своими координатами. А так как, координаты вектора - это его проекции на базисные вектора, то имеет смысл рассматривать вектор с координатами в каком-то базисе. Пространство S никак не связано с пространством R в общем случае. Мы не знаем как друг относительно друга расположены базисы этих пространств.

Расположим как-либо вектор e_k в пространстве S - это значит разложить его по базису g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m пространства S. Координаты орта e_k в базисе g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m будем обозначать так: первым индексом обозначим индекс орта g, на который проектируем вектор e_k, вторым индексом обозначим индекс самого орта e_k. То есть вектор e_k в базисе g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m будет иметь координаты (a_1k, ..., a_mk). Координаты вектора x_ke_k как масштабированного орта e_k будут соответственно (x_ka_1k, ..., x_ka_mk). Итак в базисе S при заданных проекциях вектора e_k построится некий вектор y_k = x_ka_1kg₁+ ...+ x_ka_mkg_m, соответствующий вектору x_ke_k. Зададим проекции для остальных ортов e_k (k=1, ..., n) пространства R в базисе g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m пространства S. Выстроим в виде таблицы наши построения. Значит, взяли первый орт e₁ и задали для него проекции в базисе g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m. Для x₁e₁ проекции в этом же базисе - это те же проекции e_k, только помноженные на x₁. По проекциям вектора x₁e₁ составим вектор y₁ = x₁a₁₁g₁ + x₁a₂₁g₂ + ... + x₁a_m1g_m, который будет соответствовать вектору x₁e₁. Также для остальных векторов e₂, ..., e_n.

Теперь просуммируем векторы y₁, y₂, ... y_n. Получится вектор z. То есть z - сумма векторов y₁, y₂, ... y_n, соответствующих соответственно векторам x₁e₁, x₂e₂, ..., x_ne_n. Но поскольку x = x₁e₁ + x₂e₂ + ...+ x_ne_n, то z из базиса g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m пространства S соответствует вектору x из базиса e₁, e₂, ..., e_k, ..., e_n пространства R. При суммировании векторов суммируются соответствующие координаты.Отсюда заключаем, что координаты z_i = ∑(k=1,2,...n)x_ka_ik, что отражено также в таблице. Эту сумму можно рассматривать как скалярное произведение i-й строчки какой-то матрицы A на вектор x. Отсюда заключаем, что вектор z = Ax. То есть, задав проекции для ортов пространства R в какой-то базисе g₁, g₂, ..., g_i, ..., g_m пространства S, мы этим самым задаем матрицу A, сопоставляющую векторам пространства R векторы пространства S. При этом A - называют матрицей некоторого оператора.