Дифференциальные уравнения. Однородные

Если аргументы функции f(x, y) умножить на произвольный параметр и значение функции не изменится, то такую функцию называют однородной функцией нулевого измерения. Если заменить переменные x и y на tx и ty, где t - произвольная величина (параметр) и функция f(tx, ty) = tⁿf(x, y), то есть, получается та же функция f (x, y), только умноженная на tⁿ, то такие функции называются однородными функциями n-го измерения.

При этом показатель степени при t называют степенью однородности или измерением однородности функции.

Уравнение первого порядка:

называется однородным относительно x и y, если функция f(x, y) является однородной функцией нулевого измерения относительно x и y. Чтобы решить однородное уравнение нулевого измерения, нужно взять параметр t = 1/x, тогда получим f(x, y) = f (1, y/x). Мы видим, что теперь функция зависит только от отношения аргументов. Уравнение примет вид:

Вместо y/x подставим u = y / x. Получится, что u - сложная функция от x. Имеем:

y = ux. Продифференцируем обе части по x:

Как сказано выше, u - функция от x. А x - функция сама от себя. В правой части было продифференцировано произведение двух функций ux.

Далее найдем, что:

получили уравнение с разделяющимися переменными, проинтегрируем его:

После интегрирования останется подставить вместо u отношение y/x, чтобы получить решение первоначального уравнения.

Теперь рассмотрим уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, где M(x, y) и N(x, y) - однородные функции одного и того же измерения. Оно однородно относительно x и y. Действительно, из сказанного в самом начале статьи свойства однородных функций, можно записать:

M(tx, ty) = tⁿM(x, y), N(tx, ty) = tⁿN(x, y).

Уравнение M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 умножим на tⁿ и получим:

M(tx, ty)dx + N(tx, ty)dy = 0.

Теперь положим t = 1/x. Тогда получим:

M(1, y/x)dx + N(1, y/x)dy = 0.

Далее после переноса и деления на N(1, y/x)dx получим:

То есть получаем однородное уравнение.