Дифференциалы различных порядков

Рассмотрим функцию y = f(x), где x - независимая переменная. Дифференциал этой функции равен

dy = f'(x)dx. В этом выражении только f'(x) зависит от x. Множитель dx от x не зависит. Поскольку дифференциал dy - тоже функция от x, можно взять дифференциал и от нее:

d(dy) = [f'(x)dx]'dx.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается символом d²y. Преобразуем далее вышеприведенное выражение. Для этого учтем, что dx можно вынести за знак производной ввиду его независимости от x:

d²y = f''(x)(dx)².

Третьим дифференциалом является: d³y = d(d²y) = [f''(x)dx²]'dx = f'''(x)dx³.

Дифференциал n-го порядка выражается формулой: dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Нужно сказать, что в выражении dxⁿ n означает возведение в степень, а в выражении dⁿy n означает порядок дифференциала.

Первый дифференциал не зависит от того, является ли x функцией или нет. А вот все остальные дифференциалы (большего порядка) зависят.

Производную любого порядка функции от независимой переменной можно выразить отношением дифференциала того же порядка к дифференциалу независимой переменной в степени того же порядка: