Откуда период у десятичных дробей?

Рассмотрим какую-нибудь конечную десятичную дробь, например, 0.375. Что она означает?

Правильно: 3 * 10^-1 + 7 * 10^-2 + 5 * 10^-3. Для меня очень наглядным и удобным будет излагать материал, если понимать под числами длины отрезков, а не просто пользоваться абстрактными числами.

Будем использовать только такие отрезки, длина которых равна степени числа 10. Числа 0.1, 0.01, ... - это отрицательные степени числа 10.

Итак, что означает число 0.375 в терминах длин отрезков? Очень просто - нужно взять 3 отрезка длиной 0.1, прибавить 7 отрезков длиной 0.01 и добавить еще 5 отрезков длиной 0.001.

То есть десятичные дроби - это сумма отрицательных степеней десятки, умноженных на одно из чисел 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. В терминах длин отрезков мы десятичной дробью выражаем длину отрезка через сумму групп отрезков длиной равной степени десяти. При этом в каждой группе, внимание!, будет число неотрицательное число отрезков. Таким образом, число 0.375 можно разбить на три группы по степеням:

группу 3-х отрезков длины 0.1, группу 7-и отрезков длины 0.01 и группу из 5 отрезков длины 0.001. Здорово!

Перейдем теперь к несократимым дробям.

Поделим число единица на q частей и возьмем p этих частей. Получим дробь p/q, то есть p q-ых частей единицы. В элементарной алгебре есть теорема, что всякую дробь p/q, где p и q взаимно просты и q содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, можно представить единственным образом в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Все будет намного нагляднее, если объяснить на примере конкретной дроби. Для этого рассмотрим дробь 9/13.

Что значит представить несократимую дробь в виде десятичной. Как я уже описал выше, это означает представить ее в виде суммы степеней десятки, взятых по k раз, где k - одно из чисел от 0 до 9. Вернусь к использованию отрезков для облегчения изложения материала. Итак дробь 9/13 можно осмыслить такиим образом. Есть 9 отрезков длины 1, которые нужно поделить (разбить) на 13 групп. Нужно записать это разбиение в виде десятичной дроби. Как это сделать? Вспомним деление уголком:

Как бы мы ни старались, но разбить 9 отрезков длины 1 на 13 групп, каждая из которых состоит хотя бы из одного отрезка длиной 1, мы не сможем, так как отрезков длины 1 всего-то 9 штук. Так что на 13 групп мы можем разбить 9 отрезков только так, что в каждой из этих 13 групп окажется по 0 отрезков длины 1.

Попробуем разбить 9 отрезков на 13 групп по другому. 9 отрезков длины 1 - это 90 отрезков длины 0.1. Но 90 отрезков длины 0.1 можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет по 6 отрезков длины 0.1. Останется 90 - 6 * 13 = 90 - 78 =12 отрезков длины 0.1.

Разбить 12 отрезков длины 0.1 на 13 групп мы не можем. Но 12 отрезков длины 0.1 это 120 отрезков длины 0.01, которые можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет по 9 отрезков длины 0.01. Останется 120 - 9*13= 120 - 117=3 отрезка длины 0.01.

Разбить 3 отрезка длины 0.01 на 13 групп мы не можем. Но 3 отрезка длины 0.01 это 30 отрезков длины 0.001, которые можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет по 2 отрезка длины 0.001. Останется 30 - 2*13= 30 - 26=4 отрезка длины 0.001.

Разбить 4 отрезка длины 0.001 на 13 групп мы не можем. Но 4 отрезка длины 0.001 это 40 отрезков длины 0.0001, которые можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет по 3 отрезка длины 0.0001. Останется 40 - 3*13= 40 - 39=1 отрезок длины 0.0001.

Разбить 1 отрезок длины 0.0001 на 13 групп мы не можем. Но 1 отрезок длины 0.0001 это 10 отрезков длины 0.00001, которые также нельзя разбить на 13 групп, поскольку их всего 10. Но можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет по 0 отрезков длины 0.00001. Останется 10 - 0*13= 10 - 0=10 отрезков длины 0.00001.

Разбить 10 отрезков длины 0.00001 на 13 групп мы не можем. Но 10 отрезков длины 0.00001 это 100 отрезков длины 0.000001, которые можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет по 7 отрезков длины 0.000001. Останется 100 - 7*13= 100 - 91=9 отрезков длины 0.000001.

Подытожим наши вычисления. 9 отрезков длины 1 можно разбить на 13 групп, в каждой из которых будет:

0 отрезков длиной 1;

6 отрезков длиной 0.1;

9 отрезков длиной 0.01;

2 отрезка длиной 0.001;

3 отрезка длиной 0.0001;

0 отрезков длиной 0.00001;

7 отрезков длиной 0.000001.

И останется 9 отрезков длиной 0.000001, не входящих пока ни в какую в группу.

9 * 1=13 * (6 * 0.1 + 9 * 0.01 + 2 * 0.001 + 3 * 0.0001 + 0 * 0.00001 + 7 * 0.000001) + 9 * 0.000001.

Мы пришли к тому, что 9 отрезков длиной 0.000001 опять надо распределить по 13 группам. То есть 9 отрезков придется опять делить на 13 групп, каждая из которых состоит из более мелких отрезков. Короче говоря опять нужно 9 делить на 13. Поэтому, после 7 опять начнут выпадать цифры 6,9,2,3,0,7 и опять по кругу. Почему это происходит? А потому что на каждом шаге деления, мы делим остаток от предыдущего шага на 13, получаем опять остаток. Рано или поздно все числа от 0 до 12, которым могут быть равны остатки от деления на 13, будут исчерпаны и начнется повтор значений остатков. Отсюда и возникает эта периодичность.