Преобразования координат

Рассмотрим в векторном пространстве с числом измерений n два базиса: e₁, e₂, ..., e_n (старый базис) и

e'₁, e'₂, ..., e'_n (новый базис). Выразим векторы нового базиса в старом:

e'₁ = t₁₁e₁ + t₂₁e₂ + ... + t_n1e_n,

e'₂ = t₁₂e₁ + t₂₂e₂ + ... + t_n2e_n,

...

e'_n = t_1ne₁ + t_2ne₂ + ... + t_nne_n.

Можно также записать в общем виде k-й вектор:

(k = 1, 2, ..., n).

Координаты вектора x в старом и новом базисе - x₁, x₂, ..., x_n и x'₁, x'₂, ..., x'_n. Имеем:

Подставляя выражение для e'_k, получим выражение старых координат x через новые:

(i = 1, 2, ..., n). В подробной записи это будет выглядеть так:

x₁ = t₁₁x'₁ + t₁₂x'₂ + ... + t_1nx'_n,

x₂ = t₂₁x'₁ + t₂₂x'₂ + ... + t_2nx'_n,

...

x_n = t_n1x'₁ + t_n2x'₂ + ... + t_nnx'_n.

Матрица преобразований

преобразует координаты вектора при переходе из одного базиса в другой. В ней k-й столбец состоит из координат k-го нового базисного вектора в старом базисе.

Преобразование координат вектора матрицей можно записать в короткой форме: x = Tx', а если умножить обе части этого выражения слева на T^-1, то получим выражение для обратного преобразования: x' = T^-1x.

Рассмотрим рисунок:

Здесь показан случай 3-х мерного пространства. Для объяснения пронумеруем базисные векторы пространства. Способ нумерации не важен, можно обозначать и символами x, y, z, ..., но мы будем обозначать цифрами. На рисунке базисный вектор на красной оси примем за первый, на зеленой - за второй, на синей - за третий. Для наглядности я выделил на рисунке плоскости нового базиса. Следует припомнить свойства проекций векторов. А именно, проекция суммы двух или более векторов на ось равна сумме их проекций на ту же ось. Проекция вектора, умноженного на число, равна проекции этого вектора, умноженной на число. Доказательство есть в книге Шипачева по высшей математике, а здесь я приведу очень наглядный рисунок, демонстрирующий это:

Проекции вектора x на координатные оси - это те же проекции. Если базисные векторы единичной длины (орты) нового базиса умножить на проекции (координаты) вектора x в новом базисе на оси, на которых лежат соответствующие орты, получим векторы, лежащие на координатных осях, длина которых равна проекции на соответствующую ось, и направление которых совпадает с направлением единичного орта, если проекция положительна, и противоположна, если проекция отрицательна. Ну, например, проекция x'₂ масштабирует единичный вектор e'₂ зеленой оси нового базиса и получается вектор x'₂e'₂:

Аналогично для других векторов. x'₁ масштабирует (удлиняет или укорачивает) e'₁ до вектора x'₁e'₁. x'₃ масштабирует (удлиняет или укорачивает) e'₃ до вектора x'₃e'₃. При этом модуль проекции является длиной такого вектора. Вектор x (желтый на рисунке) равен сумме векторов x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃. Теперь найдем проекцию вектора x на зеленую ось старого базиса (координату x₂ вектора в старом базисе). Выше я напомнил о свойстве проекции суммы и проекции масштабированного вектора. Поэтому, координата x₂, являясь проекцией вектора x на зеленую ось старого базиса, равна сумме проекций векторов x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃ на эту же зеленую ось. Ведь вектор x - это сумма векторов x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃. Значит и проекция его на любую ось - то же сумма проекций x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃. Встает вопрос, а чему равны проекции этих векторов x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃ на зеленую ось старого базиса? Напомню, что:

t₂₁ - это проекция первого базисного вектора нового базиса (e'₁) на зеленую ось старого базиса,

t₂₂ - это проекция второго базисного вектора нового базиса (e'₂) на зеленую ось старого базиса,

t₂₃ - это проекция третьего базисного вектора нового базиса (e'₃) на зеленую ось старого базиса.

Так как векторы x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃ суть масштабированные векторы e'₁, e'₂, e'₃, то проекции векторов x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃ тоже представляют собой масштабированные проекции векторов e'₁, e'₂, e'₃, т.е.:

проекция вектора x'₁e'₁ на зеленую ось старого базиса равна t₂₁x'₁,

проекция вектора x'₂e'₂ на зеленую ось старого базиса равна t₂₂x'₂,

проекция вектора x'₃e'₃ на зеленую ось старого базиса равна t₂₃x'₃.

Таким образом имеем:

x = x'₁e'₁ + x'₂e'₂ + x'₃e'₃,

Проекция x на зеленую ось старого базиса x₂ = t₂₁x'₁ + t₂₂x'₂ + t₂₃x'₃. Рассуждая аналогично, получим:

x₁ = t₁₁x'₁ + t₁₂x'₂ + t₁₃x'₃,

x₂ = t₂₁x'₁ + t₂₂x'₂ + t₂₃x'₃,

x₃ = t₃₁x'₁ + t₃₂x'₂ + t₃₃x'₃.

Еще раз. Аналитическое объяснение.

На координатных осях лежат единичные базисные векторы, которые называются ортами. Орты нужно как-то обозначать. Обозначим орт красной координатной оси индексом 1, орт зеленой оси - индексом 2, орт синей оси - индексом 3. Сам вектор орта обозначим буквой e. Все, что относится к новому базису, дополнительно обозначим штрихом. Итак:

Орт красной на рисунке оси старого базиса обозначен через e₁.

Орт зеленой на рисунке оси старого базиса обозначен через e₂.

Орт синей на рисунке оси старого базиса обозначен через e₃.

Теперь мы повернули старый базис на какие-то углы и получили новую систему координат или, по-другому, новый базис.

Орт красной на рисунке оси нового базиса обозначен через e'₁.

Орт зеленой на рисунке оси нового базиса обозначен через e'₂.

Орт синей на рисунке оси нового базиса обозначен через e'₃.

Оси проиндексируем соответственно индексам ортов, на них лежащих. Красная ось обозначена индексом 1, зеленая - 2, синяя - 3.

Возьмем ось a с ортом e (орт - единичный вектор, лежащий на оси и показывающий ее направление) и какой-нибудь вектор AB. Через концы вектора AB проведем две плоскости, перпендикулярные к оси a.

Эти две плоскости пересекут ось a в двух точках A' и B'. Так вот, проекция вектора AB на эту ось будет равна длине отрезка A'B', если угол между векторами AB и ортом e будет меньше 90 градусов (векторы A'B' и e одинаково направлены), и будет равна длине отрезка A'B' , взятую с минусом, если угол между вектором AB и ортом e будет больше 90 градусов (векторы A'B' и e противоположны по направлению). То есть проекция - это число, знак которого зависит от сонаправленности вектора и орта оси, а модуль зависит от длины вектора и угла между вектором и ортом оси.

Проекцию любого вектора на ось обозначим символами Proj. Получим следующие обозначения:

Proj₁x = x₁. Читаем - проекция вектора x на ось с индексом 1 старого базиса равна x₁. Просто обозначили проекцию через x₁ для краткости.

Proj₂'x = x'₂ - проекция вектора x на ось с индексом 2 нового базиса (напоминаю, штрихом условились обозначать все, что относится к новому базису - все векторы, координаты и прочее) равна x'₂.

Надеюсь, ясно. Вот обозначения проекций.

Проекции (координаты) вектора x в старом базисе:

Proj₁x = x₁

Proj₂x = x₂

Proj₃x = x₃

Проекции (координаты) вектора x в новом базисе:

Proj₁'x = x'₁

Proj₂'x = x'₂

Proj₃'x = x'₃

Проекции (координаты) вектора (орта) e'₁ нового базиса в старом базисе:

Proj₁e'₁ = t₁₁

Proj₂e'₁ = t₂₁

Proj₃e'₁ = t₃₁

Проекции (координаты) вектора (орта) e'₂ нового базиса в старом базисе:

Proj₁e'₂ = t₁₂

Proj₂e'₂ = t₂₂

Proj₃e'₂ = t₃₂

Проекции (координаты) вектора (орта) e'₃ нового базиса в старом базисе:

Proj₁e'₃ = t₁₃

Proj₂e'₃ = t₂₃

Proj₃e'₃ = t₃₃

Свойство проекции масштабированного вектора:

Proj ka = kProj a, где k - скаляр (число), a - вектор.

Проекции (координаты) вектора x'₁e'₁ нового базиса в старом базисе:

Proj₁x'₁e'₁ = x'₁Proj₁e'₁ = x'₁t₁₁

Proj₂x'₁e'₁ = x'₁Proj₂e'₁ = x'₁t₂₁

Proj₃x'₁e'₁ = x'₁Proj₃e'₁ = x'₁t₃₁

Проекции (координаты) вектора x'₂e'₂ нового базиса в старом базисе:

Proj₁x'₂e'₂ = x'₂Proj₁e'₂ = x'₂t₁₂

Proj₂x'₂e'₂ = x'₂Proj₂e'₂ = x'₂t₂₂

Proj₃x'₂e'₂ = x'₂Proj₃e'₂ = x'₂t₃₂

Проекции (координаты) вектора x'₃e'₃ нового базиса в старом базисе:

Proj₁x'₃e'₃ = x'₃Proj₁e'₃ = x'₃t₁₃

Proj₂x'₃e'₃ = x'₃Proj₂e'₃ = x'₃t₂₃

Proj₃x'₃e'₃ = x'₃Proj₃e'₃ = x'₃t₃₃

Вектор x является суммой векторов x'₁e'₁, x'₂e'₂, x'₃e'₃ в новом базисе:

x = x'₁e'₁ + x'₂e'₂ + x'₃e'₃

Свойство проекции суммы векторов:

Proj (a₁ + a₂ + ...+ a_n) = Proj a₁ + Proj a₂ + ... + Proj a_n, где a₁, a₂, a₃ - векторы.

Проекция вектора x в старом базисе, выраженные через проекции ортов нового базиса в старом базисе:

на ось с индексом 1

x₁ = Proj₁x = Proj₁x'₁e'₁ + Proj₁x'₂e'₂ + Proj₁x'₃e'₃ = x'₁t₁₁ + x'₂t₁₂ + x'₃t₁₃ или

x₁ = x'₁t₁₁ + x'₂t₁₂ + x'₃t₁₃

на ось с индексом 2

x₂ = Proj₂x = Proj₂x'₁e'₁ + Proj₂x'₂e'₂ + Proj₂x'₃e'₃ = x'₁t₂₁ + x'₂t₂₂ + x'₃t₂₃ или

x₂ = x'₁t₂₁ + x'₂t₂₂ + x'₃t₂₃

на ось с индексом 3

x₃ = Proj₃x = Proj₃x'₁e'₁ + Proj₃x'₂e'₂ + Proj₃x'₃e'₃ = x'₁t₃₁ + x'₂t₃₂ + x'₃t₃₃ или

x₃ = x'₁t₃₁ + x'₂t₃₂ + x'₃t₃₃

Все вместе:

x₁ = x'₁t₁₁ + x'₂t₁₂ + x'₃t₁₃

x₂ = x'₁t₂₁ + x'₂t₂₂ + x'₃t₂₃

x₃ = x'₁t₃₁ + x'₂t₃₂ + x'₃t₃₃