Касательная к кривой

Возьмем какие-нибудь равноотстоящие от друг друга точки на отрезке T₀T. Координаты x могут зависеть от t самым разным образом. Будучи функцией от t, координата x при росте t от T₀ до T может расти или убывать с разной скоростью на разных участках, что и видно на примере, показанном на рисунке: в этом примере равномерному росту параметра t соответствует неравномерное изменение x - в средней части шаги между точками x меньше, чем у крайних концов при равных шагах между точками t. Соответствие между точками t и x показано тонкими линиями. Координата x таким образом может меняться по разным законам с изменением t. То же можно сказать и об y. Вытягиваем точки на оси Ox, соответствующие координатам x, вверх на значения, равные значениям координаты y. То же можно сделать и с координатой z.

Таким образом при изменении параметра t координаты будут меняться, задавая некую кривую. Разным t будут соответствовать разные тройки координат (x, y, z), а следовательно, разные точки кривой и, следовательно, разные радиус-векторы r. То есть, кривая может быть задана как зависимость координат ее точек от параметра:

x=x(t), y=y(t), z=z(t), что равносильно заданию зависимости радиус-вектора r=r(t):

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Радиус-вектор, зависящий от параметра, называется вектор-функцией.

Радиус-вектор своим концом описывает кривую, проще говоря. Нужно уточнить, что здесь рассматриваются простые гладкие кривые без самопересечений и самоналеганий.

Теперь об изменениях, производных и касательных.

Рассмотрим еще раз первый рисунок. Перейдем от точки M₀ к точке M. Мысленно приближайте точку M к точке M₀ на рисунке. Это будет соответствовать изменению параметра от t₀ до t. При этом радиус-вектор изменится от r(t₀) до r(t). Разность векторов:

Δr = r(t) - r(t₀) - тоже вектор. Он лежит на хорде M₀M и его модуль равен длине хорды M₀M. Отношение разности векторов на изменение параметра Δr/Δt будет также вектором, который будет иметь то же направление, что и вектор Δr, так как Δt - скаляр. Будем брать все меньшие и меньшие изменения параметров Δt. Точка M будет приближаться к точке M₀. При этом хорда, на которой лежит вектор Δr будет стремиться к касательной, так как угол между хордой, на которой он лежит, и касательной будет стремиться к нулю. В пределе при Δt→0 мы получим производную вектор-функции r(t):

r'(t)=lim_Δt→0(Δr/Δt).

Нужно, отметить, что производная вектора - тоже вектор. Так как все, что делает предел с отношением вектора на скаляр, это просто взятие бесконечно малого вектора dr/dt. А то, что он - бесконечно мал, не мешает ему оставаться вектором. Поскольку в пределе вектор Δr лежит на касательной, то и производная вектора, являясь бесконечно малым вектором Δr, деленным на Δt, также лежит на касательной. То есть производная вектора в точке однозначно определяет касательную в данной точке.

Итак, производная вектора по параметру t в точке M₀ кривой - это: бесконечно малый вектор dr разности между радиус-векторами, поделенный на бесконечно малое изменение параметра dt, лежащий на касательной как предельным положением хорды.

Производная вектор-функции равна:

r'(t) = lim_Δt→0(Δr/Δt) = lim_Δt→0(Δxi+Δyj+Δzk)/Δt =

= [lim_Δt→0(Δx/Δt)]i + [lim_Δt→0(Δy/Δt)]j + [lim_Δt→0(Δz/Δt)]k =

= x'(t)i + y'(t)j + z'(t)k.

То есть координаты производной вектора по параметру - это производные его координат по параметру.