Множества на пальцах

Дабы не слишком заморачиваться постараюсь изложить основы кратко и наглядно.

Пусть у Пети будут следующие виды фруктов: груши и бананы. Пусть у Димы будут бананы и яблоки.

Обозначим множество фруктов Пети буквой A, а множество фруктов Димы - через B.

Поговорим об обозначении множеств на данном примере. Множество может быть задано в виде перечисления его элементов. Пишется символ, обозначающий множество, знак "=", открывается фигурная скобка "{", перечисляем через запятую элементы, ставим закрывающую фигурную скобку "}". Имеем

A = {"груши", "бананы"};

B = {"бананы", "яблоки"}.

При обозначении множеств порядок элементов не имеет значения.

Чьи груши, кому принадлежат?

Если элемент x принадлежит множеству P, используют символ ∈. Пишется так: x ∈ P. Пример: "груши" ∈ A. Если элемент x не принадлежит множеству P, используют символ ∉. Пишется так: x ∉ P. Пример: "груши" ∉ B.

А если свалить все фрукты в одну кучу?

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих или множеству A, или множеству B, или обоим, короче - какому-то из них. Для обозначения объединения используется символ "∪". Объединение A и B запишется как: A ∪ B. Объединение видов фруктов Пети и Димы будет выглядеть так:

A ∪ B = {"груши", "бананы", "яблоки"}.

Петя и Дима - что общего между ними?

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству A, и множеству B. Для обозначения объединения используется символ "⋂". Пересечение A и B запишется как: A ⋂ B. Пересечение видов фруктов Пети и Димы будет выглядеть так:

A ⋂ B = {"бананы"}.

Что есть у Пети, но нет у Димы?

Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству A, но не принадлежащих множеству B. Для обозначения разности используется символ "\". Разность A и B запишется как: A \ B. Разность видов фруктов Пети и Димы будет выглядеть так:

A \ B = {"груши"}.

Убрать одинаковый фрукт и свалить уникальные в мешок.

Симметрической разностью множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству A и принадлежащих множеству B, но не им обоим сразу. Для обозначения симметрической разности используется символ "Δ". Симметрическая разность A и B запишется как: A Δ B. Симметрическая разность видов фруктов Пети и Димы будет выглядеть так:

A Δ B = {"груши", "яблоки"}.

Другой способ задания множества - указание характеристического свойства или выражения, по которому могут быть найдены элементы множества:

A = {x: P(x)} - множество x, таких, что для них верно выражение P(x).

Здесь используется символ ":" (иногда используют "|"), который читается "таких, что".

Примеры:

A = {n ∈ N: 0 < x < 10} - множество натуральных чисел от 1 до 9

A = {x ∈ R: x² < 9} - множество вещественных чисел, квадрат которых не превышает 9.

A = {x ∈ "ягоды": x имеет красный цвет} - множество видов красных ягод.

Кстати, интервалы и отрезки еще можно обозначить как множества:

(a;b) = {x: a < x < b}

[a;b) = {x: a <= x < b}

(a;b] = {x: a < x <= b}

[a;b] = {x: a <= x <= b}

Есть много фильмов с Арнольдом - всех и не пересмотреть.

Множество может включаться (полностью содержаться) в другое множество, это обозначается символом "⊂".

Примеры:

{1, 3, 5, 7, 9} ⊂ {n ∈ N: n < 10}.

{"Терминатор", "Вспомнить все", "Бегущий человек", "Детсадовский полицейский"} ⊂ {x ∈ "фильмы": в x снимается Арнольд Шварценеггер} .

Множество, в котором вообще нет элементов, называется пустым и обозначается символом "∅".

Каждый автомобиль имеет мотор, но не все жрут бензин.

Еще в теории множеств используются символы "∀"(квантор всеобщности) и "∃" (квантор существования).

∀x - читается как "для любого x"

∃x - читается как "существует x".

∀x ∈ "автомобили" (в x есть мотор) - каждый автомобиль снабжен мотором, по крайней мере те, что на ходу.

∃x ∈ "автомобили": x использует электроэнергию существуют автомобили, использующие электроэнергию для своего движения.

Допустим A - множество вещественных чисел. Можно записать:

∀x ∈ R (x² >= 0). Квадрат любого числа всегда положителен.

∃x ∈ R: x² = 1. Существует число, квадрат которого равен единице.

Статьи