Формула Грина

Рассмотрим область D, ограниченную замкнутой кривой L. Пусть снизу эта область ограничена кривой y=y₁(x), а сверху - кривой y=y₂(x). Причем y₁(x) <= y₂(x), a <= x <= b. В совокупности кривые y₁(x) и y₂(x) составляют кривую L.

Рассмотрим следующий двойной интеграл:

Уравнения кривой MPN в параметрической форме: x=x, y=y₂(x). Уравнения кривой MQN в параметрической форме: x=x, y=y₁(x).

Заметим, что:

С учетом того, что:

двойной интеграл выразится как:

Условимся считать положительным направление обхода контура против часовой стрелки. Тогда

сумма интегралов в правой части равна криволинейному интегралу по замкнутой кривой L, взятым со знаком минус, так как MPN, NQM - это обход по часовой стрелке. Получаем:

Аналогично для Y(x,y). Область D можно представить и по-другому. Пусть слева эта область ограничена кривой x=x₁(y), а справа - кривой x=x₂(y). Причем x₁(y) <= x₂(y), c <= y <= d. В совокупности кривые x₁(y) и x₂(y) составляют кривую L.

Приведем соответствующие формулы для вывода двойного интеграла:

В последней формуле видим, что нет знака минус. Все правильно, обходим контур ведь против часовой стрелки на этот раз.

Теперь вычтем двойной интеграл для X из интеграла для Y:

Минус перед второй производной связан с тем, что при составлении общего криволинейного интеграла по замкнутой кривой в правой части обход общий и направление одно. Таким образом, тут дело в обозначениях интеграла по замкнутой кривой.

Немного о смысле. Смотрите на рисунки. Интегралы по замкнутым контурам можно представить следующим образом. В силу произвольности разбивания кривой на частичные дуги, разобьем кривую MPN и кривую NQM так, чтобы проекции концов их частичных дуг на ось Ox совпадали. Возьмем точки на дугах так, чтобы и проекции на ось Ox (координаты по x) точек в дугах, в которых берется значение функции X(x,y), то же совпадали. Так как проекции дуг кривой MPN равны по модулю, но противоположны по знаку проекциям дуг кривой NQM (то есть дуги Δs_i кривой MPN спроецируются в Δx_i, а дуги Δs_i кривой NQM спроецируются в -Δx_i), то при вычислении криволинейного интеграла по всей кривой L можно объединять слагаемые при одном Δx_i: [X(χ_i, y₂(χ_i)) - X(χ_i, y₁(χ_i))]Δx_i. При вычислении интеграла от производной dX/dy при фиксированном x_i в пределах от y₁(χ_i) до y₂(χ_i) получим X(χ_i, y₂(χ_i)) - X(χ_i, y₁(χ_i)). То есть:

Интегрируя этот интеграл по dx от a до b, получим двукратный интеграл от производной dX/dy, который выражает двойной интеграл по производной dX/dy. Совсем по-простому. Производная X по y, помноженная на маленькое приращение dy, даст маленькое приращение X. Суммируя эти маленькие приращения, получим большое приращение по X, стоящее в правой части последней формулы. Вот, собственно откуда и взялась производная.