Достаточное условие измеримости множеств

В этой статье я постараюсь объяснить смысл достаточности условия для измеримости множеств. Сама теорема описана в книге Фролова Н. А. "Теория функции действительного переменного". Вместо нижняя грань системы интервалов, я буду говорить наименьшая система интервалов для наглядности.

Пусть при любом δ > 0 множество E можно представить как E = S + M₁ - M₂, где S - система попарно неперекрывающихся интервалов, m*(M₁) < δ, m*(M₂) < δ. Заключим множество M₁ в систему попарно неперекрывающихся интервалов S₁, а множество M₂ - в систему попарно неперекрывающихся интервалов S₂, причем так, чтобы сумма длин интервалов каждого из множеств S₁ и S₂ в отдельности была меньше δ.

Это возможно. Отвлечемся от основной задачи и представим интервал (a,b) длины δ, покрывающий какое-то множество M, которое для наглядности рассуждений тоже пусть будет интервалом (c,d). Итак, имеем

a < c < d < b. Ясно, что по свойству плотности рациональных чисел между a и c можно взять другое рациональное число a1: a<a₁<c. Аналогично можно взять число между d и b: d<b₁<b. Таким образом, всегда можно найти более короткий интервал (a₁,b₁), содержащий то же множество M. Возвращаясь обратно к теореме, можно найти систему интервалов с суммой длин меньше δ, но охватывающих ту наименьшую систему интервалов, которая характеризует внешнюю меру.

Заметим, что S + M₁ - M₂ ⊂ S + M₁ ⊂ S + S₁, отсюда E ⊂ S + S₁ и, таким образом получаем, что внешняя мера m*(E) < m(S) + δ. Внешняя мера (сумма длин наименьшей системы интервалов) той части E, которая лежит в S, меньше меры S (мера системы попарно неперекрывающихся интервалов - это сумма их длин). А внешняя мера части E, которая есть M₁ меньше δ (отсюда, по крайней мере, и знак меньше, а не меньше равно).

Из того, что M₂ ⊂ S₂ получаем, что CE ⊂ CS + S₂. То есть часть CE лежит в CS (и внешняя мера этой части меньше меры CS), а часть CE предстваляет собой множество M₂, лежащее в S (его внешняя мера по условию меньше δ). Внешняя мера той части CE, которая лежит в CS, меньше меры CS, так как кроме нее в CS лежит M₁. Итак, m*(CE) < m(CS) + δ.

Приведем ход рассуждений в виде формул, который дан в книге:

m_*(E) = (b - a) - m*(CE) > (b - a) - m(CS) -δ.

В случае удаления из длины интервала (a,b) внешней меры части CE из CS, останется хотя бы внутренняя мера M₁. А в случае удаления из меры S внешней меры части CE из S (напоминаю, что это M₂), останется большая величина, чем если удалить из S величину со значением δ.

Но (b - a) - m(CS) = m(S),

откуда m_*(E) > m(S) - δ. Знак меньше, а не меньше равно из-за m*(M2)< δ.

Внутренняя мера меньше внешней: m_*(E) <=m*(E). Из m*(E) < m(S) + δ и m_*(E) > m(S) - δ получаем, что:

m(S) - δ < m_*(E) <= m*(E) < m(S) + δ.

Из большего m(S) + δ /* m(S) + δ > m*(E) */ отнимаем меньшее m(S) - δ /* m(S) - δ < m_*(E) */. Из меньшего m*(E) отнимаем большее m_*(E). Отсюда: 0 <= m*(E) - m_*(E) < 2δ.

Далее, в виду произвольной малости m_*(E)=m*(E)=m(E), что означает измеримость множества E.