Ограниченные последовательности

Последовательность, ограниченная сверху (снизу), - это такая последовательность, если существует такое вещественное число M (число m), что для каждого элемента x_n последовательности {x_n} справедливо неравенство x_n <= M (x_n >= m). При этом число M (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности {x_n}.

То есть, можно брать любое число, большее M, и оно будет также верхней гранью. Точно также, любое число, меньшее m, будет нижней гранью. Верхних и нижних граней - бесконечное множество. Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной.

Можно представить ограничение последовательности так. В системе координат на плоскости откладываем точки. Их координаты берем следующим образом: в качестве координат по горизонтальной оси берем числа натурального ряда 1, 2, ..., в качестве координат по вертикальной оси берем соответствующие значения элементов ограниченной последовательности. Эти точки будут лежать в некотором прямоугольнике, у которого левая граница 0, правая граница +∞, верхняя граница M, нижняя граница m.