Метод математической индукции. Неравенство Бернулли.

Если утверждение содержит целочисленную переменную n и нужно доказать это утверждение для любого n, то доказательство ведут в два этапа:

1. Проверить утверждение для n = 1.

2. Предположив, что утверждение справедливо для некоторого n = k > 1, проверяют его истинность для n = k + 1.

Если утверждение верно для n = 1 (1-й этап), то оно будет верно и для n = 2 (2-й этап). Если утверждение верно для n = 2 (1-й этап), то оно будет верно и для n = 3 (2-й этап). И так далее. Это составляет основу метода математической индукции.

Для примера докажем неравенство Бернулли:

(1 + a)ⁿ >= 1 + na при a > -1 и n ∈ N.

При n = 1 имеем 1 + a >= 1 + a. Неравенство верно.

Допустим, что для n = k верно (1 + a)^k >= 1 + ka. Обозначим L(k) = (1 + a)^k и R(k) = 1 + ka.

То есть L(k) >= R(k).

L(k + 1) = (1 + a)^k+1 = (1 + a)^k(1 + a) = L(k)(1 + a). (1)

R(k)(1 + a) = (1 + ka)(1 + a);

R(k)(1 + a) = 1 + ka + a + ka²;

R(k)(1 + a) = 1 + (k + 1)a + ka²;

R(k)(1 + a) = R(k + 1) + ka². (2)

Так как L(k) >= R(k), то:

L(k)(1 + a) >= R(k)(1 + a);

учитывая (2):

L(k)(1 + a) >= R(k + 1) + ka² >= R(k + 1);

учитывая (1):

L(k + 1) >= R(k + 1).