Вероятность независимых событий

Вероятность произведения P(AB) двух независимых событий A и B равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A)*P(B). Обычно в книгах я встречал какое-то неочевидное доказательство. Попробуем разобраться.

Произведение AB событий A и B - это просто применение аппарата теории множеств. Это означает, что в одном испытании или наблюдении происходят оба события - и A, и B. Иногда говорят одновременно, но это частный случай.

Пример. Пусть два последовательных выстрела - это одно испытание. Пусть A - попадание в мишень при первом выстреле, B - попадание в мишень при втором выстреле. Соответственно, произведение AB - это когда происходит попадание в мишень и при первом выстреле, и при втором выстреле в рамках одного испытания.

Они независимы, вот это очевидно, думаю.

Вероятность - число, к которому приближается отношение числа испытаний, в которых произошло событие к числу всех испытаний. Будем рассуждать грубо для того, чтобы понять. Пусть испытания происходят не случайно, а всегда точно с какой-то вероятностью. То есть при n испытаниях событие происходит столько-то раз, при 2n испытаниях - количество произошедших событий в два раза больше и т.д. То есть примем допущение, что монета выпадает гербом и решкой всегда равное количество раз, то, что число выпадений любого очка игральной кости всегда равно 1/6 от числа бросков и т.д. Сделаем случайность закономерной.

Проведем n таких испытаний, то есть в каждом из n испытаний будем производить два выстрела. Пусть число попаданий при первом выстреле nA, при втором nB. Вероятности вычислим так:

P(A) = nA/n; P(B) = nB/n.

Произведение AB (попадания при обоих выстрелах) произойдет по крайней мере, если произойдет событие A - попадание при первом выстреле. Поэтому, для расчета вероятности произведения AB (попадания при обоих выстрелах), нужно учитывать только те события B, которые произошли тогда, когда произошло событие A.

Возьмем nA испытаний, в которых было попадание при первом выстреле.

В n испытаниях произошло nB попаданий при втором выстреле.

Тогда в nA испытаниях произойдет x попаданий при втором выстреле.

По пропорции x =nA*nB/n. Можно написать P(B) = nB / n = x / nA.

nA/n - доля испытаний, в которых произошло событие A в общем числе испытаний. x / nA - доля испытаний, в которых произошло событие B при тех nA испытаниях, когда произошло событие A. Получается берем от доли nA/n долю x/nA.

Отсюда:

P(AB) = nA/n * x/nA. Подставим выражение для x и получим P(AB) = (nA/n) *([nA*nB/n] / nA)=

= nA/n * nB/n= P(A)*P(B).

Только не пытайтесь привести это доказательство в вузе, теоретически оно не правильно, так как я использовал грубые допущения, это приведено только для объяснения на пальцах.