Двукратный интеграл и теорема о среднем

Свойство1. Разобьем область D прямой y = h на две области D₁ и D₂. Обозначим через M₁(a₁, h) и M₂(b₁, h) точки персечения прямой y = h с границей L области D.

Область D₁ ограничена линиями:

1) y = φ₁(x);

2) кривой A₁M₁M₂B, условное уравнение которой запишем ввиде y = φ*(x), которая удовлетворяет следующим условиям:

а) при a ≤ x ≤ a1 и при b1 ≤ x ≤ b φ*(x) = φ2(x);

б) при a1 ≤ x ≤ b1 φ*(x) = h.

3) прямыми x = a и x = b.

Область D₂ ограничена линиями y = φ*(x) и y = φ₂(x), где x изменяется в интервале a₁ ≤ x ≤ b₁.

Применим теорему о разбиении промежутка интегрирования к внешнему интегралу следующего интеграла:

Это двукратный интеграл по области D₂. Запишем двукратный интеграл по области D и также применим теорему о разбиении промежутка интегрирования к внутреннему интегралу:

Получается, что если разбить область интегрирования линиями, параллельными осям координат, двукратный интеграл по разбиваемой области равен сумме двукратных интегралов по получившимся частичным областям.

Теперь об оценке двукратного интеграла. Обозначим через m и M наименьшее и наибольшее значения функции в области D. Через S обозначим площадь области D. Так как f(x, y) меньше M в области D, то и произведения значений f(x, y) на элементарные площадки, на которые можно разбить область D, меньше произведений M на те же площадки.

На самом деле, если M вынести за скобки, интеграл в правой части можно представить как разность интегралов (площадей двух фигур, образованных прямыми y = 0, x = a, x = b и графиками функций), что даст площадь фигуры между графиками функций (площадь области D). Получаем:

I_D ≤ MS. Совершенно аналогично I_D ≥ mS. Все вместе: mS ≤ I_D ≤ MS. То есть, двукратный интеграл ограничен.

Теорема о среднем основана на равенстве двукратного интеграла сумме двухкратных интегралов по областям, полученным разбиением области D.

Из последнего соотношения получаем:

m ≤ (1/S)I_D ≤ M. То есть (1/S)I_D лежит между наименьшим и наибольшим значениями функции f(x, y) в области D. В силу непрерывности функция f(x,y) в какой-то точке P принимает значение f(P) = (1/S)I_D.Отсюда:

f(P)S = I_D. Двукратный интеграл равен значению функции в какой-то точке P в области D, помноженному на площадь S области D.

Теперь вкратце о вычислении двойного интеграла через двукратный. Применяя вышеизложенное, разобьем область D на площадки и выразим двукратный интеграл в виде суммы двукратных интегралов площадок:

I_D = I_ΔS1 + I_ΔS2 + ... + I_ΔSN. Далее, каждый из двукратных интегралов по теореме о среднем представим как произведение функции в какой-то точке P_i на площадке ΔSi площадь площадки:

I_D = f(P₁)ΔS₁ + f(P₂)ΔS₂ + ... + f(P_N)ΔS_N

Никто не запрещает разбивать область D на более мелкие площадки, то есть на большее их количество. Тогда просто увеличится N и уменьшатся площадки ΔS_i. Если разбивать область D на все более мелкие площадки, их число будет стремиться к бесконечности, а пределом суммы будет двойной интеграл по области D.