Сходящиеся последовательности

Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число a, что для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при n >= N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству |x_n - a| < ε.

При этом число a называется пределом последовательности {x_n}.

Символически последовательность {x_n}, которая сходится к a (имеет своим пределом a), записывают так:

В самом определении подразумевается, что число элементов последовательности - бесконечно. Нам нужно рассматривать элементы со все большими номерами при уменьшении ε. Так что там, где говорится о сходимости последовательности или о ее пределе, то нужно понимать, что последовательность содержит бесконечное количество элементов.

Предел последовательности можно наглядно изобразить геометрически:

Какой бы отрезок длины 2ε с центром в точке a ни взять, то все точки x_n, начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого отрезка. При этом вне этого отрезка останется конечное число точек.