Обыкновенные и особые точки кривой

Так как она лежит на кривой, то удовлетворяет уравнению (2), то есть F(x₀, y₀)= 0. Пусть для определенности переменная y возрастает при постоянном x. Для случая убывания все аналогично. Так как F(x₀, y₀)= 0, то переменная y при x = x₀ принимает положительные значения при y > y₀ и отрицательные значения при y < y₀. Значит, в точках H₀ и D₀ функция F принимает значения разных знаков, а именно: F(D₀)= F(x₀, y₀ - h) < 0, F(H₀)= F(x₀, y₀ + h) > 0.

Если оставить y постоянным (равным y₀ + h или y₀ - h), получим две функции от одной переменной:

F(x, y₀ + h) и F(x, y₀ - h). При x = x₀ функция F(x₀, y₀ + h) > 0, а F(x₀, y₀ - h) < 0.

Но в силу непрерывности, знаки этих функций будут такими не только в точке x₀, но и в некоторой ее окрестности D₁H₁H₂D₂. То есть на отрезке H₁H₂ функция F будет иметь значения F(x, y₀ + h) > 0, а на отрезке D₁D₂ будет иметь значения F(x, y₀ - h) < 0.

Возьмем в этой окрестности x = x' (здесь я обозначил через штрих, который соответствует черточке над символом). При этом F(x', y0 + h) > 0, а F(x', y0 - h) < 0. А значит в какой-то точке M' на отрезке H'D' функция F(x', y') = 0. В силу того, что производная по y не равна 0 (F по условию возрастает), то такая точка на отрезке H'D' будет одна. Это справедливо для всех x закрашенного участка. А это значит, что в закрашенном участке y зависит от x как однозначная функция y = f(x).

То есть закрашенный прямоугольник вырезает из кривой простой участок, а, значит, точка M₀ - обыкновенная.