Стягивающаяся последовательность сегментов

То, что такая точка существует - понятно из того, что длина сегмента не равна нулю, сколь бы малым он ни был. А также потому, что левая граница всегда меньше правой границы. Следовательно, в силу плотности множества действительных чисел, в сколь угодно малом сегменте найдется действительное число (точка).

Точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся последовательности, может быть только одна. Если бы их было, скажем, две, то они образовывали бы интервал определенной длины. Но сегмент стягивающейся последовательности может быть сколь угодно мал и в тоже время должен содержать эти точки. Сегмент не сможет содержать этот интервал из двух точек, если длина сегмента окажется меньше длины интервала. Длина же множества, состоящего из одной точки, равна нулю. Поэтому, существует ровно одна точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся последовательности.