Теория чисел. Общий делитель

Если a = bq + c, причем все числа a,b,q,c - целые (в теории чисел в основном рассматриваются целые числа), то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Допустим b делится (в теории чисел вообще говорят, что число делится на другое, если оно делится без остатка) на какое-то d. Тогда, чтобы a тоже делилось на d, очевидно, необходимо, чтобы и c делилось на d.

Это нужно, чтобы можно было бы d вывести за скобки как общий множитель:

b = b₁d, c = c₁d, a = b₁dq + c₁d, a = (b₁q + c₁)d.

Скажем, вы можете 10 яблок разложить в 2 ряда по 5 в яблок в каждом. 7 яблок вы не можете разложить никак, чтобы в ряду было по 5 яблок - можно их выложить только в 1 ряд по 7 яблок или в 7 рядов по одному яблоку. Теперь прибавим к 10 яблокам 7. Получится 17 яблок. 17 яблок также не разложить в ряды по 5. В этом примере a = 17, b = 10, q = 1, c = 7.

А вот если к 10 яблокам прибавить 20 яблок (5*4), то всего будет 30 яблок, которые можно разложить в 6 рядов по 5 яблок в каждом. В этом примере a = 30, b = 10, q = 1, c = 20.

Другой пример. Также для простоты примем q = 1. Возьмем ящики, в которые помещается ровно 5 яблок.

10 яблок мы можем разместить в 2-х таких ящиках. Следовательно, чтобы получить большее количество яблок, размещенных в ящиках, нужно добавить сколько то ящиков с яблоками. Например, чтобы получить 6 ящиков (6х5=30 яблок), нужно к 2-м ящикам (2х5=10 яблок) добавить 4 ящика (4х5=20 яблок). Понятно, что в этом примере рассматривается общий делитель 10 и 30, равный 5.

Придумайте примеры и хорошо усвойте это свойство.