Алгебра высказываний. Запись высказываний

Пусть A и B обозначают высказывания:

A: Петя умеет рисовать

B: Дима весит 80 кг

Отрицание ¬A будет означать, что "Петя не умеет рисовать", либо "Неверно то, что Петя умеет рисовать".

Здесь все ясно.

Рассмотрим конъюнкцию A /\ B. Если кто-то скажет, что "Петя умеет рисовать и Дима весит 80 кг", мы представим, например, как Петя рисует и Диму на весах, показывающих 80 кг". Но если при этом Петя не умеет рисовать, то мы скажем, что говорящий не прав. Точно также он не прав, если Дима весит 75 кг. То есть раз в предложении стоит союз "и", то должны соблюдаться два условия: и то, что Дима весит 80 кг, и то, что Петя умеет рисовать. Иначе говорящий - не прав (лжет).

Теперь дизъюнкция.

Если вас пригласят в гости и скажут, что на стол подадут жареную курицу или котлеты, то вы, естественно, будете ожидать либо курицу, либо котлеты. Если подадут салат или вообще ничего, вы скажете, что вам сказали ложь. А, например, если вам подадут и курицу, и котлеты, вы объедитесь, но вы не сможете сказать, что вас обманули. То есть, пригласившие вас в гости хозяева солгут только в одном случае - если не будет ни курицы, ни котлет. Если будет только курица, только котлеты или и курица, и котлеты, то хозяева сказали правду.

Условный пример импликации рассмотрим на примере высказывания A:

"Начальник обещал выплатить премию, если отдел выполнит план в два раза быстрее".

Допустим сотрудники отдела задерживались до ночи, работали до седьмого пота и выполнили план в два раза быстрее намеченных сроков, и начальник выплатил отделу премии. В этом случае высказывание A верно.

Теперь рассмотрим случай, когда отдел справился с задачей быстрей в два раза, но начальник не выплатил премию. Можно сказать, что начальник, как минимум лжец. Высказывание A ложно.

Другой случай. Работники и не думали выполнять план быстрее, но начальник все равно выплатил премию.

Начальник в этом случае ведет себя странно, но нельзя сказать, что он лжец.

Если же работники выполнили план как обычно, а начальник не выплатил премию, то все правы. Раз отдел не справился с планом в два раза быстрее, начальник свободен от обязательств платить отделу премию.

Что получается? Высказывание A ложно, если только начальник солжет, не выплатив премии работникам, успевшим выполнить в план в два раза быстрее.

Это конечно, условные примеры, нужно смотреть на логические значения и таблицу истинности высказываний.

Смысловой связи может и не быть. Например, для высказываний:

A: Петя умеет рисовать

B: Дима весит 80 кг

A=>B будет означать "Если Петя умеет рисовать, то Дима весит 80 кг".

От того, что Петя умеет рисовать, не зависит то, что Дима весит 80 кг.

Истинность или ложность составного высказывания зависит только от логического значения составляющих его высказываний и не зависит от смысловой связи между ними.

Эквивалентность. Рассмотрим высказывание A:

"Дима гуляет тогда и только тогда, когда на нем джинсы и футболка".

Если Дима гуляет и мы видим, что он одет в джинсы и футболку, то нужно согласиться с тем, что высказывание A - истинное.

Если на Диме джинсы и футболка и он говорит, что он гуляет, то высказывание A никем тоже не может быть оспорено. Но если Дима говорит, что он сейчас гуляет, а сам одет в костюм, то можно заключить, что Дима пришел с какого-то мероприятия и поленился переодеться и высказывание A в данном случае - ложно. Также если Дима утверждает, что он сейчас идет на работу, а сам одет в джинсы и футболку, также можно заключить, что Диме лень переодеваться и теперь высказывание A - ложно.

Но повторяю, что в алгебре высказываний и математической логике рассматривается логические значения высказываний и правила, по которым получаются логические значения высказываний при применении связок, а не смысл самих высказываний.

Упражнение.

Рассмотрим высказывания:

A: Петя любит яблоки

B: Петя любит груши

C: Петя любит апельсины

Пусть надо записать высказывание: "Пете нравятся яблоки и неверно, что он любит груши или апельсины"в символической форме. Высказывание "Петя любит груши или апельсины" записывается символически как B \/ C. Высказывание "Неверно, что Петя любит груши или апельсины" запишется как ~(B \/ C), так как отрицание применяется ко всему высказыванию, идущему после "что". Все высказывание запишется как

A /\ (~(B \/ C)). Составим таблицу истинности для него:

Сначала находим значения для B \/ C, потом - для его отрицания, потом - для всего высказывания.

Советую порешать задачи и упражнения в книгах Пензова и сборнике задач по математической логике и теории множеств Гохмана (можно взять здесь ).