Разбиение множества на классы

В теории множеств и ТФДП существует понятия "отношение" и "эквивалентность". Термин отношение означает связь между двумя элементами разных в общем случае множеств. При этом отношение - это тоже множество, а именно, множество пар элементов. Допустим элемент a₁ ∈ A связан с элементом b₁ ∈ B отношением ρ, элемент a₂ ∈ A связан с элементом b₂ ∈ B отношением ρ, ..., элемент a_n ∈ A связан с элементом b_n ∈ B отношением ρ. То есть одним и тем же отношением ρ. Тогда пары (a₁, b₁), (a₂, b₂), ..., (a_n, b_n) образуют некоторое множество R. Естественно предполагать, что если некая пара (x,y) ∈ R, то между ними есть отношение ρ.

Отношение - это общий случай функции, обобщенный на множества. Пример 1. Каждой концентрической окружности радиуса r_i с цетром координат в точке (0,0) можно поставить в соответствие точку пересечения этой окружности с осью Ox, т.е. точку (r_i, 0).

Пример 2. Любая функция y = f(x) является отношением, сопоставляющим (связывающим) точки множества элементов x с множеством элементов y.

Пример 3. Отношениями являются операции сравнения <, >, ≤, ≥, =.

Отношение ρ между элементами x и y обозначается как xρy. При сопоставлении какому-либо элементу множества A элемента множества B говорят, что множество A отображается на множество B.

Эквивалентность - это свойство отношения, которое позволяет разбить какое-нибудь множество на классы.

Эквивалентность - это когда:

1) Элемент связан отношением сам с собой (свойство рефлексивности);

2) Если aρb, то bρa (свойство симметричности);

3) Если aρb и bρc, то aρc (свойство транзитивности).

Например. Отношение равенства радиуса позволяет разбить множество всех бесчисленных окружностей на плоскости на классы - множества окружностей одного радиуса. Т.е., например, окружности радиуса r₁ принадлежат одному классу, а окружности радиуса r₂ - другому. При этом радиус одной и той же окружности равен самому себе - рефлексивность. Если радиус первой окружности равен радиусу второй, то радиус второй окружности равен радиусу первой - симметричность. Если радиус первой окружности равен радиусу второй, а радиус второй окружности равен радиусу третьей, то радиус первой окружности равен радиусу третьей - транзитивность.

Еще примеры. Параллельность прямых на плоскости. Подобность треугольников. Проекция окружности на ось Ox.

Заметим, что перпендикулярность прямых не является отношением эквивалентности, так как прямая не перпендикулярна сама себе (нарушено свойство рефлексивности). Нетрудно убедиться, что нарушено и свойство транзитивности. Если прямая a перпендикулярна прямой b, а прямая b перпендикулярна прямой c, то прямая a параллельна прямой c.