Метрические пространства

Полезно ввести понятие расстояния не только для чисел, но для математических объектов другой природы, используемых в анализе. Например, векторов, функций.

Рассмотрим произвольное множество A, его декартово произведение A x A, R - множество вещественных чисел. Отображение ρ: A x A→R отображает декартово произведение множества A на множество вещественных чисел.

Метрикой ρ на множестве A называется отображение, удовлетворяющее условиям:

1) ρ(x, y) = 0 только, если x = y. Расстояние между разными элементами множества больше нуля;

2) ρ(x, y) = ρ(y, x) - расстояние между x и y - то же самое, что расстояние между y и x;

3) ρ(x, y) <= ρ(x, z) + ρ(z, y) - аксиома треугольника. Расстояние между двумя точками меньше суммы расстояний от каждой из этих точек до третьей точки. Представьте реугольник - три точки находятся в вершинах.

Множество A вместе с метрикой ρназывается метрическим пространством, а элементы множества A - точками пространства. Метрика также называется расстоянием.

Пространство с метрикой обозначается (A, ρ).

Подпространство

В пространстве A можно рассмотреть какое-нибудь множество B с той же метрикой. Тогда B будет называться подпространством пространства A.

Расстояния между множествами

Расстоянием между множествами M и N метрического пространства A называется расстояние между ближайшими их элементами - самое маленькое расстояние между одним из элементов M и одним из элементов N:

ρ(M, N) = inf ρ(x, y), где x ∈ M, y ∈ N.

Множество, например, N может состоять из одного элемента a. Тогда говорят о расстоянии между точкой и множеством:

ρ(M, a) = inf ρ(x, a), где x ∈ M. То есть это расстояние между точкой a и ближайшим элементом из M.