Сечения чисел

Рассмотрим рациональное (представимое в виде дроби) число a. Все числа, большие a будем называть верхним классом, все числа, меньшие a - нижним классом. Говорят тогда, что a производит сечение.

Если число a отнести к верхнему классу, то оно будет наименьшим в этом верхнем классе.

Тогда в нижнем классе не будет наибольшего числа, потому что между любыми рациональными числами лежит бесконечно много других рациональных чисел. То есть мы можем брать все большие и большие числа , но которые остаются меньше a, бесконечно приближаясь к a.

Например, возьмем рациональное число x < a. Между x и a можно взять число x1 такое, что x < x1 < a. Дальше можно взять число x2 такое, что x1 < x2 < a. Этот процесс бесконечен - хотя мы будем брать с каждым разом числа xi, более точно приближающие a, до конца мы не дойдем. Просто разница между xi и a будет бесконечно уменьшаться, но никогда не станет равной нулю. То есть, если отнести a к верхнему классу, то в нижнем классе не будет наибольшего числа. Аналогично, если отнести a к нижнему классу, в верхнем классе не будет наименьшего числа. Здесь можно бесконечно приближаться к a справа, беря все меньшие и меньшие числа, но большие, чем a.

Нужно сказать, что есть такие числа (не рациональные), для которых и для нижнего класса нет наибольшего числа, и для верхнего класса нет наименьшего числа. Это иррациональные числа. Мы можем бесконечно приближаться к иррациональному числу со стороны меньших, чем оно, чисел. И также можем приближаться к иррациональному числу со стороны больших, чем оно чисел. Под понятием "приближаться к иррациональному числу" имеется ввиду брать числа, которые приблизительно равны этому иррациональному числу так, что с каждым разом разница между взятым числом и иррациональным числом уменьшается.

Получаем, что иррациональное число невозможно точно представить дробью, т.е. рациональным числом. Рациональное число - от слова "рацио" - деление, дробь.