Поверхностные интегралы

Рассмотрим произвольную поверхность S на n элементарных площадок Δs₁, Δs₂, ..., Δs_N. Площадь каждой i-ой площадки также обозначим через Δs_i. На каждой площадке возьмем точку M_i(x_i, y_i, z_i), а в каждой из точек M_i возьмем значение функции f(x_i, y_i, z_i). Предел суммы:f(x₁, y₁, z₁)Δs₁ + f(x₂, y₂, z₂)Δs₂ + ... + f(x_N, y_N, z_N)Δs_N при стремлении наибольшей из площадок (площадей площадок) к нулю называется интегралом от функции f(x, y, z) по поверхности S 1-го рода или поверхностным интегралом 1-го рода. То есть:

Здесь важно понимать, что переменные x, y, z связаны тем, что точка (x, y, z) лежит на поверхности S.

Площадь поверхности z = z(x, y) площадки может быть выражена через двойной интеграл, а следовательно, по теореме о среднем через площадь проекции этой площадки на плоскость Oxy:

Подставим последнюю формулу вместо Δs_i в правой части формулы интеграла по поверхности:

При стремлении элементарной площадки к нулю становится меньше произвол в выборе точек (x_i, y_i), которые стремятся к точкам (x_i*, y_i*), в формуле двойного интеграла:

При стремлении к нулю проекции площадки Δs_i последний двойной интеграл становится выражением поверхностного интеграла.

Известно, что:

ΔG_i - площадь проекции площадки Δs_i на плоскость Oxy. Нормаль n к поверхности S имеет координаты

(z_x', z_y', 1), то есть производные по x, по y и по z (по z производная от z = z (x, y) равна 1). Косинус угла, образованного нормалью к поверхности с осью Oz, это проекция нормали на ось Oz, то есть координата n_z.

Итак поверхностный интеграл первого рода может быть рассмотрен как двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость Oxy просто от более сложной функции двух переменных x и y. Можно поверхность выразить и как x = x (y, z) или y = y (x, z). Просто тогда поверхностный интеграл выразится от двойного интеграла по области yz или xz соответственно, но само значение от этого не изменится.