Производная сложной функции

Рассмотрим функцию z = φ(x) и функцию y = f(z). Допустим, что она имеет в точке x производную z'_x = φ'(x), а функция y = f(z) имеет при значении z, соответствующим значению x, производную y'_z = f'(z). Дадим аргументу x приращение Δx. Функция z получит при этом приращение Δz = φ(x + Δx), а функция y получит приращение Δy = f(z + Δz). При Δx→0 Δz→0 и Δy→0.

Из соотношения для предела и свойств бесконечно малых

представляем отношение приращений Δy / Δz как сумму предела (пределом такого отношения будет производная) и бесконечно малой:

Здесь α→0 при Δz→0. Далее преобразовываем это равенство Δy = y'_zΔz + αΔz. Делим обе части на Δx:

Учитывая, что:

получаем y'_x = y'_zz'_x.

Другими словами z'_x , грубо говоря, это отношение Δz к Δx, а y'_z - это приближенно отношение Δy к Δz.

y'_zz'_x ≈ (Δy / Δz)(Δz / Δx) = Δy / Δx ≈ y'_x. Соотношение становится точным в пределе, когда Δx→0.