Дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств

Возьмем три множества A, B, C. Рассмотрим случай, когда B⋂С≠∅ и A⋂(B⋂C)≠∅.

A⋂B = [A⋂(B\C)]∪[A⋂(B⋂C)].

Пересечение множества A с множеством B содержит пересечение трех множеств A,B,C, так как точки пересечения множеств B и C являются и точками множества B. Остальные точки пересечения множества A и множества B не принадлежат C, то есть содержатся в разности B\C, то есть пересечение множеств A и B состоит из пересечения множества A с той частью множества B, точки которой принадлежат только множеству B, и пересечения множества A с той частью множества B, которая является общей для B и C.

Аналогично, получаем:

A⋂C = [A⋂(C\B)] ∪ [A⋂(B⋂C)].

Пересечение множества A с множеством C содержит то же самое пересечение трех множеств A,B,C, так как точки пересечения множеств B и C являются и точками множества C. Остальные точки пересечения множества A и множества C не принадлежат B, то есть содержатся в разности C\B.

Объединим пересечения:

(A⋂B) ∪ (A⋂C) = {[A⋂(B\C)] ∪ [A⋂(B⋂C)]} ∪ {[A⋂(C\B)] ∪ [A⋂(B⋂C)]} = [A⋂(B\C)] ∪ [A⋂(B⋂C)] ∪ {[A⋂(C\B)].

Рассмотрим пересечение A⋂(B∪C) множества A и объединения множеств B и С. Объединение множеств B и C содержит часть, точки которой принадлежат только множеству B, часть, точки которой принадлежат только множеству C, и часть, общую для B и C. Следовательно и множество, полученное пересечением множества A с объединением множеств B и C также состоит из точек, принадлежащих пересечению множества A с той частью объединения B и C, точки которой принадлежат только множеству B, пересечению с частью, точки которой принадлежат только множеству C, и пересечению с частью, общей для B и C:

A⋂(B∪C) = [A⋂(B\C)] ∪ [A⋂(B⋂C)] ∪ {[A⋂(C\B)].

Получаем, что A⋂(B∪C) = (A⋂B) ∪ (A⋂C).

То же самое можно сказать простыми словами. Рассмотрим два произвольных множества, которые обозначим через X и Y. Пересечение двух множеств X и Y - это их общие точки. Объединение двух множеств X и Y - это все точки обоих множеств. Ясно, что объединение состоит из общих точек, точек, принадлежащих только множеству X, и точек, принадлежащих только множеству Y. Для краткости будем обозначать точки, которые принадлежат только множеству X фразой "точки только из X". Часть множества X, содержащую точки только из X, обозначим фразой " множество только X". И аналогично для любых других обозначений A, B, C.

Теперь вернемся к трем первоначально рассматриваемым множествам A, B, C. Рассмотрим объединение множеств B и C. Оно состоит из общих точек B и C, точек только из B и точек только из C. Общими точками множества A и объединения B и C, таким образом, могут быть точки:

1) общие для множества A и множества только B

2) общие для множества A и множества только C

3) общие для множества A и множества точек, общих для B и C

Теперь рассмотрим множество точек, общих для множеств A и B. Оно состоит из точек, которые:

1) общие для множества A и множества только B

2) общие для множества A и множества точек, общих для B и C

Теперь рассмотрим множество точек, общих для множеств A и C. Оно состоит из точек, которые:

1) общие для множества A и множества только C

2) общие для множества A и множества точек, общих для B и C

Теперь объединим общие точки A и B и общие точки A и C. Объединение будет состоять из точек, которые:

1) общие для множества A и множества только B

2) общие для множества A и множества только C

3) общие для множества A и множества точек, общих для B и C

То есть при объединении общих точек A и B и общих точек A и C, общие точки B и C в составе общих точек A и B и общие точки B и C в составе общих точек A и C одни и те же.

Иногда операция объединения двух множеств A и B обозначается как A+B, а операция пересечения как AB подобно тому как обозначаются арифметические действия над числами.

В объединении B + C множества B и C могут частично налегать друг на друга. Точки, принадлежащие этому наложению, составляют пересечение множеств B и C. Они являются общими для B и C. Пусть множество A одновременно имеет какие-то общие точки сразу и с B и с C. Рассмотрим пересечение множества A с объединением B + C.

В объединении B + C множество A может иметь только те общие точки с множеством B, которые являются общими для них и в их отдельном пересечении (то есть когда пересекаются только A и B). Ведь множества A и B те же самые - они не расширяются и не сжимаются, не изменяют формы и набора точек, независимо от того рассматриваем мы множество B отдельно или как часть объединения.

То же самое можно сказать и о множестве C. В объединении B + C множество A может иметь только те общие точки с множеством C, которые являются общими для них и в их отдельном пересечении (то есть когда пересекаются только A и C).

Пусть два пересечения AB и AC сами пересекаются. Это означает, что есть точки, общие для всех трех множеств A, B и C. Опять же в силу неизменности множеств A, B и C точки, общие для двух пересечений AB и AC остаются теми же самыми и в объединении B + C.

По сути формула выражает, что возможен разный порядок действий, приводящий к одному результату.

Операция AB+AC означает, что мы ищем все точки, одновременно принадлежащие A и B, все точки, одновременно принадлежащие A и C, и все точки, одновременно принадлежащие A, B и C. Потом объединяем их все.

Операция A(B+C) означает, что сначала мы ищем точки, принадлежащие только B, потом точки, принадлежащие только C, потом точки, принадлежащие им обоим. Потом среди всех этих точек ищем все точки, одновременно принадлежащие A и B, все точки, одновременно принадлежащие A и C, и все точки, одновременно принадлежащие A, B и C. Потом объединяем их все.