Верхний и нижний пределы по Хаусдорфу

Понятие верхнего и нижнего предела последовательности вызывали у меня трудности с их представлением.

Разберем все по полочкам, ибо это фундаментальное понятие матанализа. Для полноты усвоения можно читать определения в разных книгах по матанализу.

Если последовательность x₁, x₂, ..., x_n,... ограничена сверху, при любом n существуют верхние грани:

v_n = sup[x_n, x_n+1,x_n+2,...], причем, v₁ >= v₂ >=... Если эти v_n ограничены снизу, и, следовательно, имеют нижнюю грань v, то эта последняя называется верхним пределом (limes superior). Нижний предел определяется аналогично. Ниже представлено обозначение соответственно верхнего и нижнего пределов:

Из формул видно, что верхний предел последовательности - это предел верхних граней, а нижний предел - предел нижних граней. То есть, мало того, что верхняя и нижняя грань - это сами пределы. Но и от них самих при разном количестве отброшенных членов берут пределы. Предел предела, получается.