Двойной интеграл

Как известно, при вычислении двойного интеграла задача разбивается на нахождение двух определенных интегралов. Допустим, сначала принимаем x за постоянную. При этом f(x, y) меняется только при изменении y. Определенный интеграл от f(x, y) по y выразится некоторой зависимостью (функцией) от y:

F(y=φ₂(x)) - F(y=φ₁(x)). То есть будет зависимость от двух значений y. При разном x получим разные два конкретных значения y. В итоге так как конкретные значения y сами зависят от x по некоторым формулам, то в результате подстановки определенный интеграл выразится некоторой функцией от x. Иными словами, приводя двойной интеграл к вычислению двух определенных, двойной интеграл приводится к вычислению определенного интеграла от более сложной функции какой-то одной из переменных x или y.

Вот формула приведения двойного интеграла к вычислению двух определенных:

Подинтегральное выражение в правой части

суть функция от x, только более сложная, чем y. То есть для приведения двойного интеграла к определенному интегралу от x используется зависимость y от x. Небудь функциональной зависимости y от x, привести таким образом двойной интеграл было бы нельзя.

Алгоритм вычисления такой:

1) Принимая x за постоянную, производится интегрирование по y - вычисляется интеграл, стоящий в скобках;

2) В результате интегрирования получается непрерывная функция от x:

3) Эту функцию интегрируем по x в пределах от a до b: