Переменные и последовательности

Переменная величина, как следует из ее названия, может принимать не одно, а разные значения.

Задать переменную означает указать множество значений, которые она принимает. Обратите внимание на слово множество.

Дальше сначала задам вопрос в виде теста.

1) Что называется последовательностью.

Ответ: последовательность - это множество пронумерованных вещественных чисел. Что значит пронумерованных? Возьмем натуральным ряд чисел 1,2,3,..., n,.... В этом ряду заменим по какому-то закону каждое натуральное число n вещественным числом x_n. Получится последовательность x₁, x₂, x₃, ..., x_n, ....

Отдельные числа последовательности x_n называются ее членами или элементами. Последовательность сокращенно обозначается {x_n}.

Последовательность, как правило, задается правилом, пользуясь которым по номеру n можно определить значение члена последовательности x_n. Например, x_n = 1/n².

Раз последовательность - это множество, значит, для нее тоже есть верхние и нижние грани. Грани и точные грани

Тут важно понять, что в отличие от множеств в последовательности важен порядок членов. И главное, что нужно узнать о последовательности, - это то, что происходит с ее членами, если брать все большие номера.

Об этой характеристике могут рассказать Пределы.

Важные моменты в определении последовательности

Начнем с определений последовательности, приведенных в книгах.

[Ильин-Позняк]

Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2, ... ..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел x₁, x₂, ..., x_n, ... мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

[Никольский]

Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, ... приведено в соответствие в силу некоторого закона число x_n. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел x₁, x₂, x₃, ..., или, короче, последовательность {x_n}.

[Мое определение]

Пусть каждому натуральному числу n = 1, 2, ... по некоторому закону поставлено в соответствие действительное число x_n, тогда множество занумерованных действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n,... называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Анализируя вышеописанные определения, можно выделить главные моменты:

1) для нумерации используются каждое натуральное число;

2) не выписанные члены рядов заменяются знаком многоточия.

Главный вывод - последовательность - бесконечное! множество занумерованных чисел. Именно, бесконечное. Если особо не оговорено, то в матанализе последовательность состоит из бесконечного числа чисел.

Не нужно путать сами числа с элементами последовательности. Несколько элементов последовательности могут принимать значения. которые представляют собой одно и тоже число. Так, в последовательности 1, 2, 3, 1, 2, 3, ..., 1, 2, 3 бесконечно много элементов, но каждый из элементов принимает в качестве значения одно из трех чисел {1, 2, 3}.

По сути, последовательность чисел - это функция, определенная на натуральном ряде.