БПППИ. Прямые, перпендикуляры, плоскость, площадь проекции

Прямые, перпендикулярные данной прямой в данной ее точке, лежат в одной плоскости. На самом деле это нетрудно представить и понять.

Допустим есть прямая a и прямая p, которые перпендикулярны друг к другу и пересекаются в точке A. Теперь, если мы будем вращать прямую p вокруг прямой a, сохраняя перпендикулярность, то будем получать бесконечно много прямых, лежащих в одной плоскости. Если бы угол между прямыми a и p не был бы прямым, то мы бы получили при вращении конусовидную поверхность, в которой лежат все прямые, которые образуют с прямой a один и тот же угол.

Вот некоторые теоремы, доказательство которых можно посмотреть в учебнике Погорелова по геометрии.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

Термины. Наклонная к данной плоскости - это отрезок, проведенный из данной точки к точке, лежащей на данной плоскости. При этом точка, являющаяся концом наклонной, которая лежит на плоскости, называется основанием наклонной.

Теорема о трех перпендикулярах. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Пусть AB перпендикуляр к плоскости α, AC - наклонная, p - прямая в плоскости α, проходящая через основание C наклонной.

Проведем прямую A'C, параллельную прямой AB. Она будет перпендикулярна плоскости α. Значит, прямая p будет перпендикулярна к прямой A'C, так как прямая p лежит в плоскости α. Проведем через прямые AB и A'C плоскость β. Так как из условия теоремы прямая p, проходящая через основание C наклонной AC, должна быть перпендикулярной к ее проекции CB, то получается, что прямая p перпендикулярна двум пересекающимся прямым A'C и CB, а следовательно плоскости β. Поэтому, прямая p перпендикулярна наклонной AC, которая лежит на плоскости β.

Термины. Угол между плоскостями. Допустим, есть две плоскости a и b. Когда пересекаются две плоскости a и b, образуется прямая p. Проведем третью плоскость y, перпендикулярную прямой p пересечения этих двух плоскостей. Так вот эта третья плоскость y пересекает каждую из двух плоскостей a и b по прямым PA и PB соответственно. Угол между этими прямыми и будет углом между двумя плоскостями.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Рассмотрим сначала треугольник ABC. Пусть плоскость α проходит через сторону AB треугольника. Проекцией треугольника ABC в плоскости α является треугольник ABC₁. Проведем высоту CD треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах гласит, что если через основание наклонной на плоскости провести прямую, перпендикулярную наклонной, то она будет перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость. В данном случае роль наклонной играет высота CD, а основанием является точка D. Отрезок AB лежит на прямой в плоскости α, проходящей через основание D наклонной CD и перпендикулярен высоте CD из определения термина "высота треугольника". И, значит, AB перпендикулярен высоте C₁D треугольника ABC₁, так как C₁D - это проекция наклонного отрезка CD. Угол CDC₁ равен углу φ между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции α. Выводим:

C₁D = CD * cos φ,

S_ABC = 0.5 * AB * CD, S_ABC1 = 0.5 * AB * C₁D. Это площади треугольников.

S_ABC1 =S_ABC * cos φ

Любой многоугольник можно разбить на треугольники, а каждый треугольник можно разбить на два так, чтобы их общая сторона была параллельна плоскости проекции.

Рассмотрим плоскость π с нормалью n. Нормаль n образует угол φ с осью Oz. Нужно сказать, что любая плоскость, проходящая через ось Oz будет перпендикулярна плоскости Oxy.

Стало быть нормаль плоскости, образующая с осью Oz угол, лежит в одной из таких плоскостей. Плоскость π пересекается с плоскостью Oxy по прямой OK. То есть, прямая OK лежит как в плоскости π, так и в плоскости Oxy.

1) Нормаль n перпендикулярна плоскости π. Прямая OK лежит в плоскости π. Значит, нормаль n перпендикулярна прямой OK.

2) Ось Oz перпендикулярна плоскости Oxy. Прямая OK лежит в плоскости Oxy. Значит, ось Oz перпендикулярна прямой OK.

3) Так как нормаль n и ось Oz - скрещивающиеся прямые, перпендикулярные прямой OK, то плоскость, которая проходит через нормаль n и ось Oz, т.е. плоскость nOz, также перпендикулярна прямой OK.

4) Плоскость nOz пересекает плоскость π по прямой OA, а плоскость Oxy по прямой OM. То есть, прямые OA и OM лежат в плоскости nOz.

5) Исходя из формулировки термина "угол между плоскостями", угол α между плоскостями - это угол между прямыми OA и OM.

Сумма углов φ и zOA равна углу между нормалью n и прямой OA. Так как нормаль n плоскости π перпендикулярна и прямой OA, лежащей в ней, то φ + zOA = 90 градусов. Также угол zOA и угол α в сумме дают угол между осью Oz и прямой OM, лежащей в плоскости Oxy, значит, перпендикулярной к оси Oz. То есть α + zOA = 90 градусов. Отсюда вытекает, что φ = α. Таким образом, рассматривая углы между нормалью и осями, получаем:

1) угол между произвольной плоскостью π и плоскостью Oxy равен углу между нормалью n плоскости π и между осью Oz;

2) угол между произвольной плоскостью π и плоскостью Oxz равен углу между нормалью n плоскости π и между осью Oy;

3) угол между произвольной плоскостью π и плоскостью Oyz равен углу между нормалью n плоскости π и между осью Ox.