Верхний и нижний пределы последовательности

Эта статья больше относится к теории функции действительного переменного, чем к математическому анализу, как он дается в курсах и учебниках.

Элементы числовой последовательности можно представить точками числовой прямой. Поэтому, время от времени будем называть элементы последовательности точками.

Если из последовательности [a₁, a₂, ..., a_n, ...] начать отбрасывать элементы, каждый раз отбрасывая сколь угодно большое количество элементов, то ее верхняя грань может или оставаться постоянной или уменьшаться. То есть, возьмем последовательность [a₁, a₂, ..., a_n, ...] и отбросим сколько-то первых элементов. Потом снова возьмем исходную последовательность [a₁, a₂, ..., a_n, ...] (ту же самую, то есть не испорченную первым отбрасыванием) и на этот раз отбросим большее число первых элементов. Будем бесконечно проделывать это действие с исходной последовательностью, каждый раз отбрасывая все большее число первых элементов. Мы как бы проводим эксперименты, в каждом следующем эксперименте мы пробуем отбросить большее число первых элементов из одной и той же первоначальной последовательности [a₁, a₂, ..., a_n, ...] и смотрим чему равна ее верхняя грань. Пронумеруем верхние грани [v_n1, v_n2, ..., v_nk, ...] последовательности, получающиеся в случаях отброса все большего числа ее первых элементов, таким образом, верхние грани сами образуют последовательность. Если у последовательности верхних граней есть нижняя грань inf {v_nk} = inf sup {a_n}, то она называется верхним пределом последовательности. Верхний предел последовательности - это ее наибольшая предельная точка.

Допустим, что e - наибольшая предельная точка числовой последовательности. Рассмотрим случаи.

Если справа от нее бесконечное количество точек (элементов) последовательности, то верхняя грань находится всегда где-то справа от нее. Ясно, что с удалением все большего числа элементов верхняя грань последовательности будет смещаться справа к точке e и никогда не станет меньше, чем e, так как последовательность - бесконечна, а среди первых отброшенных членов последовательности могут оказаться как точки последовательности слева от точки e, так и точки последовательности справа от нее. Таким образом, точка e - нижняя грань верхних граней последовательностей, то есть верхний предел последовательности.

Если справа от точки e - лишь конечное число точек последовательности, то рано или поздно все они будут отброшены. Но сколько бы мы ни отбросили первых элементов (точек) последовательности, в любой окрестности точки e будут существовать точки последовательности, так как она - предельная. То есть точка e в данном случае станет верхней гранью после какого-то числа отброшенных элементов последовательности и будет ей оставаться далее все время. Здесь последовательность верхних граней состоит из конечного числа точек, лежащих справа от точки e и самой точки e, повторяющейся бесконечно (после конечного числа первых отброшенных элементов верхняя грань сместится в точку e и более не будет меняться). То есть точка e - нижняя из всех верхних граней. И в этом случае получили, что точка e - верхний предел последовательности.

Рассуждения для нижнего предела аналогичны.