Teorema lui Euler este pentru mișcarea unui corp rigid care are un punct fix în spațiul tridimensional, care afirmă că deplasarea generală a unui corp rigid cu un punct fix este echivalentă cu o rotație a corpului în jurul unei axe care trece prin acel punct fix. Dacă au loc mai mult de două rotații, una poate fi combinată cu o altă rotație, iar două rotații pot fi reduse în continuare într-o singură rotație. Să presupunem că un punct fix arbitrar O al unui corp rigid care suferă o mișcare arbitrară la momentul t este selectat așa cum se arată în Fig. 1.

Unghiul de rotație la intervalul de la t la t+dt este notat cu dθ în jurul axei fixe. Astfel, în orice moment t, viteza de rotație a corpului rigid este viteza sa unghiulară:

Axa în jurul căreia se rotește corpul rigid este definită ca axa instantanee de rotație. Vectorul unghiular, notat cu ω, specifică atât direcțiile axei instantanee de rotație, cât și viteza unghiulară prezentată în Fig. 1. Viteza unghiulară este un vector și direcția sa este definită a fi paralelă cu axa instantanee de rotație. Când dt se apropie de zero, mișcarea corpului rigid în jurul punctului fix poate fi văzută ca mișcare compusă în jurul unei serii de axe instantanee de rotație. Deoarece direcția axei instantanee de rotație se schimbă în spațiul tridimensional, locul geometric al axelor formează un con de spațiu fixat în cadrul de referință al universului sau cadrul de referință primar, care este numit ca axodă instantanee sau con static. În același timp, axa instantanee de rotație generează, de asemenea, un con în cadrul de referință rotativ atașat corpului rigid, care este denumit axodă dinamică sau con dinamic. Este, de asemenea, un con cu vârful O. Axoda instantanee este fixată corespunzător cadrului de referință al universului. Axoda dinamică este atașată de corpul rigid și este statică în cadrul de referință rotativ. Când are loc mișcarea punctului fix, aceste două conuri se întâlnesc de-a lungul axei instantanee de rotație. Axoda dinamică se rostogolește fie pe interiorul, fie pe exteriorul axodei instantanee.

Din fig. 1, schimbarea orientării corpului rigid poate fi considerată ca rotație dθ în jurul axei instantanee OC. Odată ce vectorul viteză unghiulară ω este definit, să presupunem că A este un punct al unui corp rigid cu viteza unghiulară ω, așa cum se arată în Fig. 2, viteza lui A în raport cu punctul O în orice moment instantaneu este definită de

unde r este un vector de la originea O pe axa de rotație până la punctul A.

Punctul A se deplasează cu o cale circulară de rază |r|sinβ corespunzătoare punctului fix O, unde β este unghiul dintre vectorii r și ω așa cum se arată în Fig. 2. Prin urmare, vectorul viteză este definit ca un produs vectorial dintre viteza unghiulară ω și poziția r. Direcția vitezei relative v este perpendiculară pe planul format din poziția r și viteza unghiulară ω.

Mărimea vectorului viteză al punctului A în raport cu O este egală cu produsul dintre raza traseului și viteza unghiulară a corpului rigid:
|v| =|r| sin β|w|: (3)

Direcția vectorului viteză este tangentă la traseul mișcării sau tangentă la cercul cu raza |r|sinβ.

Mișcarea generală a unui corp rigid este luată în considerare în spațiul tridimensional, așa cum se arată în Fig. 3. Dacă sunt cunoscute viteza, accelerația, viteza unghiulară și accelerația unghiulară a punctului O, mărimile fizice corespunzătoare ale punctului A pot fi deduse din cele ale punctului O. Sistemul de transformare de coordonate este situat în punctul O cu viteza unghiulară zero. Pentru obţinerea mişcării relative, vectorul de poziţie al punctului A este

rA = ro + rA/o: (4)

Luând derivata ecuației de mai sus în raport cu timpul t rezultă următoarea viteză relativă:

vA = vo + vA/o (5)

Viteza punctului A a unui corp rigid în raport cu cadrul de referință al universului {C} este suma vitezei poziției O față de cadrul de referință al universului {C} și viteza poziției A în raport cu cadrul de referință {O}. Viteza vA este folosită pentru a descrie mișcarea absolută. Iar viteza vA/o este folosită pentru a descrie mișcarea relativă. Folosind ecuațiile 2 și 5, viteza relativă a punctului A pe un corp rigid poate fi descrisă prin viteza sa unghiulară:

vA = vo + ω x rA/o (6)

Luând derivata timpului în ambele părți ale ecuației 2, accelerația punctului A în orice moment este definită ca

α = dv/dt = ω˙x r + ω x r˙ = ε x r + ω x v = ε x r +ωx(ωxr), (7)

unde ε = ω˙ = dω/dt ​​este accelerația unghiulară care este determinată de mărimea și direcția lui ω. Direcția accelerației unghiulare ε nu este de-a lungul axei instantanee de rotație. O accelerație unghiulară este definită ca rata de schimbare în timp a unei viteze unghiulare. Deoarece viteza unghiulară este o mărime vectorială, accelerația unghiulară este, de asemenea, o mărime vectorială conform definiției derivatei unui vector. Din Ec. 2 și 6, se poate observa că vitezele și accelerațiile tuturor punctelor de pe corpul rigid nu sunt egale deoarece vectorul de poziție r este diferit. Pentru cazurile de mai sus, axa de rotație este fixată în spațiul tridimensional. Primul termen din Ec. 7, ε x r, este paralel cu vectorul viteză și tangent la calea circulară a mișcării. Acest termen este numit accelerație tangențială:

ατ = ε x r (8)

Al doilea termen se numește accelerație normală, care este notat cu

αn = ω x v = ω x (ω x r) (9)

Din Ec. 6, accelerația punctului A este dată ca

αA = αo + ε x rA + ω x (ω x rA/o) (10)

Abordarea geometrică este adoptată pentru a descrie mișcarea punctului fix. Pentru a determina poziția corpului rigid în cadrul de referință primar, sunt necesare două puncte necoliniare A și B cu un punct fix O.